Naufrage d'un bateau
15 minutes de préparation)
On considère un bateau qui coule dans la mer considérée comme un fluide parfait incompressible, de masse volumique \(\rho\).
On note \(H=20\;m\) la hauteur du bateau, \(M=50\;000\;tonnes\) sa masse et \(S=8\;500\;m^2\) sa surface de base.
Question
On considère que le bateau est rempli d'eau sur une hauteur \(h\).
Quelle est la hauteur \(h_m\) à partir de laquelle le bateau coule ?
Solution
On appelle \(H_0\) la hauteur du bateau qui se trouve dans l'eau.
A l'équilibre du bateau, les poids du bateau et de la masse d'eau de hauteur \(h\) compensent la poussée d'Archimède (axe vertical orienté vers le haut) :
\(\rho gSH_0 - Mg-\rho g hS=0\)
On en déduit :
\(H_0=h+\frac{M}{\rho S}\)
La bateau va couler si \(H_0>H\), d'où la hauteur limite :
\(h_m=H-\frac{M}{\rho S}\)
L'AN donne \(h_m=14,1\;m\).
Question
On considère maintenant que le bateau est initialement vide et qu'il se remplit par un petit trou de surface \(s<<S\) situé dans la coque à une hauteur \(\ell=4\;m\) du fond.
On prendra \(s=2\;m^2\).
Décrire les différentes étapes du remplissage.
Déterminer \(h(t)\) pendant la 1ère phase et calculer sa durée \(t_1\).
Déterminer \(h(t)\) pour \(t>t_1\).
Quelle est la durée totale du naufrage ?
Solution
Le remplissage va se dérouler en deux étapes : le niveau d'eau monte juste au niveau du trou puis le niveau d'eau monte jusqu'à atteindre la hauteur \(h_m\).
Ensuite, le bateau va couler ...
Étude de la 1ère phase :
On note \(H_0(t)\) la hauteur du bateau dans l'eau, qui dépend du temps.
On applique le théorème de Bernoulli (dans l'ARQS) pour déterminer la vitesse de l'eau \(v_e\) à l'entrée du trou dans le référentiel du bateau, sur une ligne de courant allant de la surface de la mer au trou.
On a alors :
\(v_e=\sqrt{2g(H_0(t)-\ell)}\)
La conservation du débit volumique donne ensuite :
\(s(\sqrt{2g(H_0(t)-\ell)})=S\frac{dh(t)}{dt}\)
où \(h(t)\) désigne la hauteur d'eau à l'instant t dans le bateau.
On va considérer que le bateau est pratiquement immobile, ce qui fait que l'on peut encore écrire (comme à la question précédente) :
\(H_0(t)=h(t)+\frac{M}{\rho S}\)
Par conséquent :
\({\left( {\frac{{dh(t)}}{{dt}}} \right)^2} = 2g{\left( {\frac{s}{S}} \right)^2}\left( {\frac{M}{{\rho S}} - \ell + h(t)} \right)\)
On dérive par rapport au temps et, après simplifications :
\(\frac{{{d^2}h(t)}}{{d{t^2}}} = {\left( {\frac{s}{S}} \right)^2}g\)
Les conditions initiales sont :
\(h(0) = 0\;\;\;et\;\;\;{\left( {\frac{{dh(t)}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = \frac{s}{S}\sqrt {2g\left( {\frac{M}{{\rho S}} - \ell } \right)}\)
On obtient, après intégration :
\(h(t) = \frac{g}{2}{\left( {\frac{s}{S}} \right)^2}{t^2} + \frac{s}{S}\sqrt {2g\left( {\frac{M}{{\rho S}} - \ell } \right)} \;t\)
La 1ère phase va se terminer à l'instant \(t_1\) pour lequel \(h(t_1)=\ell\), soit :
\({t_1} = \sqrt 2 \frac{S}{s}\left( {\sqrt {\frac{M}{{\rho Sg}}} - \sqrt {\frac{{\frac{M}{{\rho S}} - \ell }}{g}} } \right)\)
L'AN donne :
\(t_1\approx 34\;min\)
Étude de la seconde phase :
On utilise de nouveau le théorème de Bernoulli entre la surface de la mer et le trou situé au point E. La pression vaut maintenant, au niveau du trou :
\(P_e=P_0+\rho g(h(t)-\ell)\)
Ainsi :
\(P_0+\rho g(h(t)-\ell)+\frac{1}{2}v_e^2-\rho g (H_0(t)-\ell)=P_0\)
D'où, finalement :
\({v_e} = \sqrt {\frac{{2gM}}{{\rho S}}}\)
Cette vitesse est donc constante.
La conservation du débit volumique conduit à :
\(S\frac{dh(t)}{dt}=s\sqrt {\frac{{2gM}}{{\rho S}}}\)
La résolution de cette équation différentielle donne :
\(h(t) = \frac{s}{S}\sqrt {\frac{{2gM}}{{\rho S}}} \;(t - {t_1}) + \ell\)
La seconde phase se termine lorsque \(h(t_2)=h_m\). L'AN donne :
\(t_2\approx 1\;h\;40\;min\)
C'est la durée du naufrage.