Étalement d'une goutte
(20 minutes de préparation)
Une feuille de papier de rayon R = 10 cm est fixée sur un plateau tournant à vitesse angulaire constante \(\omega = 10^3\;rad.s^{-1}\) autour d'un axe vertical fixe (Oz).
On envoie une goutte de peinture, de masse volumique \(\mu\), de viscosité \(\eta\) et de viscosité cinématique \(\nu = 10^{-4}m^2.s^{-1}\) verticalement sur la feuille et la goutte s'étale en un film mince d'épaisseur h < 0,1 mm.
La durée typique de l'étalement est \(\tau \approx 100\;s\).
On se propose dans cet exercice d'étudier l'étalement de la goutte à l'aide d'une procédure semi-quantitative.
On adopte le modèle suivant :
La goutte a été déposée au centre O et forme à l'instant t un film de rayon R(t) et d'épaisseur maximale h(t), avec h(t) << R(t).
Son volume reste constant, ce qui donne en « ordre de grandeur » la relation :
\(h(t)R(t)^2=h_0R_0^2\)
Dans le référentiel tournant, l'équation de Navier-Stokes s'écrit :
\(\mu \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v} \right) = - \overrightarrow {grad} P + \mu \vec g + \eta \Delta \vec v - 2\mu \vec \omega \wedge \vec v + \mu \omega ^2 \overrightarrow {OM}\)
De plus la goutte d'eau étant assez plate et de faible épaisseur, on suppose le champ de pression uniforme.
Question
Indiquer la signification des différents termes de l'équation de Navier-Stokes.
En évaluant des nombres sans dimension, montrer que tous les autres termes contenant la vitesse sont négligeables devant le terme de viscosité.
Solution
Les différents termes de l'équation de Navier-Stokes décrivent dans l'ordre l'accélération locale, l'accélération convective, les forces de pression, le poids, les forces de viscosité, les forces d'inertie de Coriolis et d'entraînement.
La vitesse est de l'ordre de :
\(v \approx \frac{R}{\tau } \approx 10^{ - 3} \;m.s^{ - 1}\)
La distance caractéristique de ses variations est de l'ordre de \(R\approx 0,1\;m\) selon \(\vec u_r\) et de l'ordre de \(h\approx10^{-4}m\) selon \(\vec u_z\).
La durée caractéristique de ses variations est de l'ordre de \(\tau\).
Par conséquent :
\(\frac{{\left| {\mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right|}}{{\left| {\eta \Delta v} \right|}} \approx \frac{{\frac{v}{\tau }}}{{\nu \frac{v}{{h^2 }}}} = \frac{{h^2 }}{{\nu \tau }} = \frac{{10^{ - 8} }}{{10^{ - 4} .10^2 }} = 10^{ - 6} < < 1\)
\(\frac{{\left| {\mu (\vec v.\overrightarrow {grad} )\vec v} \right|}}{{\left| {\eta \Delta v} \right|}} \approx \frac{{v\frac{v}{R}}}{{\nu \frac{v}{{h^2 }}}} = \frac{{vh^2 }}{{\nu R}} = \frac{{10^{ - 3} .10^{ - 8} }}{{10^{ - 4} .10^{ - 1} }} = 10^{ - 6} < < 1\)
Il est important de comprendre ici que l'opérateur \(\vec v.\overrightarrow {grad}\) dérive par rapport à r et est donc associé à l'échelle R, alors que l'opérateur Δ dérive par rapport à r et par rapport à z de telle sorte que, avec h << R :
\(\left| {\Delta \vec v} \right| \approx \left| {\frac{{\partial ^2 v}}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial z^2 }}} \right| \approx \frac{v}{{R^2 }} + \frac{v}{{R^2 }} + \frac{v}{{h^2 }} \approx \frac{v}{{h^2 }}\)
Enfin, pour le terme de Coriolis :
\(\frac{{\left| {\mu \;\vec \omega \wedge \vec v} \right|}}{{\left| {\eta \Delta \vec v} \right|}} \approx \frac{{\omega v}}{{\nu (v/h^2 )}} = \frac{{\omega h^2 }}{\nu } = \frac{{10^3 .10^{ - 8} }}{{10^{ - 4} }} = 10^{ - 1} < < 1\;\)
L'approximation est un peu limite : on peut s'attendre à ce que l'expansion de la goutte ne soit pas strictement radiale.
Question
Exprimer « en ordre de grandeur » la puissance résistante \(P_r\) due aux forces de viscosité en fonction de \(\mu\), \(\omega\), \(R(t)\), \(h(t)\) et \(dR/dt\).
Solution
Les forces volumiques de viscosité \(\eta \Delta\vec v\) ont une puissance \(P_r=\eta \Delta\vec v.\vec v\).
D'où, en ordre de grandeur en sommant sur le volume total :
\(P_r \approx \left| {\eta \Delta \vec v.\vec v} \right|(hR^2 ) \approx \frac{{\eta v^2 (hR^2 )}}{{h^2 }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_r \approx \frac{{\eta R^2 }}{h}\left( {\frac{{dR}}{{dt}}} \right)^2\)
Question
En déduire qu'en ordre de grandeur, on a :
\(R^3 \frac{{dR}}{{dt}} \approx \frac{{\omega ^2 R_0^4 h_0^2 }}{\nu }\)
Et expliciter R(t).
Évaluer la durée \(\tau\) pour qu'une goutte de volume initial \(V_0=10^{-8}m^3\) s'étale jusqu'en \(R_M=10\;cm\).
Solution
La force motrice est la force d'inertie d'entraînement dont la puissance vaut \(\mu \omega ^2 \overrightarrow {OM} .\vec v\).
D'où, en ordre de grandeur en sommant sur le volume total :
\(P_m \approx \left| {\mu \omega ^2 \overrightarrow {OM} .\vec v} \right|(hR^2 ) \approx \mu \omega ^2 RvhR^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_m \approx \mu \omega ^2 R^3 h\frac{{dR}}{{dt}}\;\)
Le problème est piloté par la conversion de la puissance motrice en puissance résistante, soit en ordre de grandeur :
\(\left| {P_r } \right| = P_m \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\eta R^2 }}{h}\left( {\frac{{dR}}{{dt}}} \right)^2 \approx \mu \omega ^2 R^3 h\frac{{dR}}{{dt}}\;\)
Par conséquent :
\(\frac{{dR}}{{dt}} \approx \frac{{\omega ^2 Rh^2 }}{\nu }\)
En éliminant h en utilisant la conservation du volume, il vient :
\(\frac{{dR}}{{dt}} \approx \frac{{\omega ^2 Rh_0^2 R_0^4 }}{{\nu R^4 }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R^3 \frac{{dR}}{{dt}} \approx \frac{{\omega ^2 h_0^2 R_0^4 }}{\nu }\)
En intégrant :
\(\frac{{R^4 - R_0^4 }}{4} \approx \frac{{\omega ^2 h_0^2 R_0^4 }}{\nu }\;t\)
Avec \(R>>R_0\), il vient :
\(R^4 \approx \frac{{4\omega ^2 h_0^2 R_0^4 }}{\nu }\;t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R \approx \left( {\frac{{4\omega ^2 h_0^2 R_0^4 }}{\nu }} \right)^{1/4} t^{1/4}\)
AN :
Avec \(V_0=R_0^2h_0\), on trouve \(\tau\approx 100\;s\), en bon accord avec l'énoncé.