Évolution d'une plaque
(20 minutes de préparation)
Les deux réservoirs de section S sont initialement remplis d'une même hauteur h0 d'eau ; ils communiquent via un tube de section s.
Le tube est coupé sur une distance e et un disque de liège d'épaisseur e' < e et de section s' > s est plaqué contre l'extrémité droite.
On constate que le jet gauche permet de maintenir le disque si h1 reste supérieure à une certaine hauteur limite.
Question
Exprimer la force exercée par l'eau de droite sur le disque et celle exercée par l'air.
Solution
Le liquide (2) est immobile :
\(P_2 = P_0 + \mu gh_2\)
La force exercée par l'eau sur le disque est :
\(F_2 = P_2 s = (P_0 + \mu gh_2 )s\)
Celle exercée par l'air sur le disque est :
\(F_{air} = P_0 (s' - s)\)
Question
Démontrer le théorème de Bernoulli et trouver la vitesse en B .
Solution
En régime quasi – stationnaire, on peut démontrer la formule de Toricelli :
\(v_B = \sqrt {2gh_1 }\)
Question
Effectuer un bilan de quantité de mouvement pour obtenir la force exercée par l'eau de gauche sur la plaque. Quelle est la condition d'équilibre ?
Solution
A t : le système est le fluide sorti + la masse \(dm = \mu D_v dt = \mu svdt\) de fluide qui va sortir du tube pendant dt.
A t + dt : tout le fluide sorti.
En régime quasi – stationnaire, d'après le théorème d'Euler, la variation de quantité de mouvement de ce système est (en projection selon l'horizontale) :
\(dp = - dmv = - \mu sv^2 dt\)
Soit F la force exercée par le fluide sur la paroi, alors le théorème de la résultante cinétique appliqué au fluide donne :
\(- \mu sv^2 \vec u_x = P_0 s\vec u_x + ( - F\vec u_x ) +\)
Comme :
\(\oiint_{S\;fermee} P_0.\vec n dS=\vec 0=\oiint_{surface\;laterale} P_0\vec n.dS-P_0s\vec u_x+P_0s'\vec u_x\)
Il vient :
\(- \mu sv^2 \vec u_x = P_0 s\vec u_x + ( - F\vec u_x ) + P_0 (s' - s)\vec u_x\)
Finalement :
\(F = P_0 s' + 2\mu gsh_1\)
La plaque est alors soumise à la résultante :
\(F_{totale} = \left[ {P_0 s' + 2\mu gsh_1 } \right] - \left[ {(P_0 + \mu gh_2 )s + P_0 (s' - s)} \right]\)
L'équilibre est possible si :
\(F_{totale} > 0,\;soit\;:\;h_1 > \frac{{h_2 }}{2}\)
Question
Donner qualitativement l'évolution de la plaque dans le temps.
Solution
Pour obturer le 1er récipient, il faut que :
\(h_2 > \frac{{h_1 }}{2}\)
On voit que si :
\(\frac{{h_2 }}{2} < h_1 < 2h_2\)
Ces deux conditions sont vérifiées : le comportement du système va dépendre de son « histoire ».