Tonneau percé
(15 minutes de préparation)
Un tonneau cylindrique de rayon \(R\) et de hauteur \(H\) est percé de trous.
A une altitude \(z\) (à partir de sa base), les trous occupent une fraction \(f(z)\) de la paroi du tonneau.
L'eau est un fluide parfait incompressible.
On donne \(R=H=1\;m\) et \(f=1\%\).
Question
A quel débit (en litres par seconde) faut-il remplir le tonneau pour réussir à le faire déborder ?
Solution
On suppose que le débit volumique \(D_v\) cherché (celui d'un robinet extérieur) permet de maintenir la hauteur de l'eau constante dans le tonneau (à la valeur \(H\)).
La relation de Torricelli[1] donne la vitesse de sortie de l'eau à travers un trou situé à la cote z :
\(v(z)=\sqrt{2g(H-z)}\)
Sur la surface latérale élémentaire \(2\pi R dz\), les trous occupent la surface \(2\pi R dz f(z)\).
Par conséquent, le débit volumique sortant de tous ces trous est :
\(dD_{v,s}=2 \pi R dz f(z) \sqrt {2g(H-z)}\)
Le débit cherché doit alors être :
\(D_v=\int_0^H 2 \pi R f(z) \sqrt {2g(H-z)}dz\)
Soit, avec \(f(z)=0,01\) :
\(D_{v,s}=0,02 \pi R \sqrt {2g} \frac {2}{3} H^{3/2}\)
l'AN donne environ \(190\;L.s^{-1}\).