Freinage d'une plaque en mouvement sinusoïdal
(20 minutes de préparation)
Une plaque confondue avec le plan d'équation z = 0 est en translation avec une vitesse \(U_m cos\omega t)\) dans un fluide incompressible de masse volumique \(\mu\), de viscosité \(\eta\) et de viscosité cinématique \(\nu=\eta/\mu=10^{-6}m^2.s^{-1}\), remplissant tout l'espace.
On considérera la plaque comme infinie.
On note alors \(P(M,t)\) le champ de pression et \(\vec v(M,t)=v(M,t)\vec u_x\) le champ des vitesses en M, dans le fluide.
On rappelle l'expression de la force de viscosité exercée sur un élément de surface dS, de cote z, par le fluide situé à une cote supérieure à z :
\(d\vec f = \eta \frac{{\partial v}}{{\partial z}}dS\vec u_x\)
Question
De quoi dépendent \(P(M,t)\) et \(\vec v(M,t)=v(M,t)\vec u_x\) ?
On montrera avec soin que \(\vec v(M,t)=v(z,t)\vec u_x\).
Indice
L'équation de Navier-Stokes conduit ici à l'équation de diffusion.
La résolution fait apparaître une épaisseur de peau, comme en électromagnétisme (dans les conducteurs ohmiques) et comme dans les transferts thermiques (voir exercice sur l'onde thermique)
Solution
Il y a invariance par translation selon Ox et Oy, par conséquent : P(z,t) et \(\vec v(M,t)=v(z,t)\vec u_x\).
Question
En isolant un pavé de côtés dx, dy et dz dont un coin est le point M de coordonnées (x,y,z), établir l'équation :
\(\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \nu \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial z^2 }}\)
Solution
\((\vec v.\overrightarrow {grad} )\vec v = \left( {v(z,t)\frac{\partial }{{\partial x}}} \right)v(z,t){\kern 1pt} \vec u_x = \vec 0\)
L'équation de Navier-Stokes donne, en projection selon (Ox) la relation demandée (équation de diffusion) :
\(\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \nu \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial z^2 }}\)
Question
En déduire sans calculs l'ordre de grandeur de l'épaisseur \(\delta\) de la couche limite, domaine hors duquel le fluide reste quasiment au repos.
Application numérique pour f = 100 Hz.
Solution
Un calcul d'ordre de grandeur donne, où V est un ordre de grandeur de la vitesse du fluide :
\(\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac {V}{T}=\nu \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial z^2 }}=\nu \frac {V}{\delta ^2}\)
D'où :
\(\delta = \sqrt {\nu T}=\sqrt {\nu /f}\)
Question
On cherche en régime sinusoïdal forcé un champ des vitesses de la forme :
\(v(z,t)=Re(U_0exp(i(\omega t - \underline k z))\)
Déterminer le vecteur d'onde complexe \(\underline k\) et les expressions des vitesses \(v(z>0,t)\) et \(v(z<0,t)\).
Solution
L'équation de diffusion donne la relation de dispersion :
\( i\omega =\nu (-\underline k^2)\)
Soit :
\(\underline k^2 =-i\nu/ \omega=e^{-i\pi/2}\nu/ \omega\)
D'où l'expression du vecteur d'onde complexe :
\(\underline k =\pm e^{-i\pi/4}\sqrt{\nu/ \omega}=(1-i)\sqrt{\frac{\nu}{2\omega}}\)
On note finalement :
\(\delta =\sqrt{\frac{2\nu}{\omega}} \)
En prenant la partie réelle, on en déduit les expressions des vitesses dans le plan supérieur et dans le plan inférieur :
\(v(z>0,t)=U_m\; e^{\;-z/\delta} cos(\omega t -z/\delta)\)
\(v(z<0,t)=U_m \;e^{\;z/\delta} cos(\omega t +z/\delta)\)
Question
En déduire l'expression de la force subie par la plaque de surface S et la puissance moyenne de cette force ; commenter.
Solution
La force subie par la plaque de surface S est la force de viscosité :
\(\vec F = \eta \left[ {\left( {\frac{{\partial v(z > 0,t}}{{\partial z}}} \right)_{0^ + } - \left( {\frac{{\partial v(z < 0,t}}{{\partial z}}} \right)_{0^ - } } \right]S{\kern 1pt} \vec u_x\)
Soit :
\(\vec F = - \frac{{2\eta S}}{\delta }U_m (\cos \omega t - \sin \omega t)\;\vec u_x\)
La puissance moyenne est :
\(<\vec F .\vec v>= - \frac{{2\eta S}}{\delta }U^2_m <\cos^2 \omega t - \sin \omega t cos\omega t>\;\vec u_x\)
Soit :
\(<\vec F .\vec v>= - \frac{{\eta S}}{\delta }U^2_m\)
L'opérateur doit donc fournir la puissance opposée afin d'assurer le mouvement en régime permanent de la plaque freinée par le liquide visqueux.