Marche au hasard
(15 minutes de préparation)
En raison de l'agitation thermique, les particules dans un gaz ou un liquide ont des trajectoires en forme de lignes brisées.
Partant de l'origine O à l'instant t = 0, une particule effectue N déplacements \({\vec \delta _i}\) (i=1 à N). Après chaque choc, elle repart dans une nouvelle direction indépendante de la précédente.
Question
A quelle distance moyenne r de O se trouve-t-elle au bout d'un temps \(t=N\tau\) (N grand) où \(\tau\) est le temps moyen entre deux chocs successifs ?
Exprimer r en fonction de t, du libre parcours moyen L et de la vitesse quadratique u.
Solution
Au bout de N déplacements \({\vec \delta _i}\), la particule est en :
\(\vec r = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\vec \delta }_i}}\)
Soit, en norme :
\({\vec r^2} = {r^2} = \sum\limits_{i = 1}^N {\vec \delta _i^2} + 2\sum\limits_i {\sum\limits_{j < i} {{{\vec \delta }_i}.{{\vec \delta }_j}} }\)
Or, par définition du libre parcours moyen :
\({L^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\vec \delta _i^2}\)
Par ailleurs, pour N grand, le caractère aléatoire de la diffusion assure des cosinus de produits scalaires aléatoirement répartis entre -1 et +1, d'où :
\(\sum\limits_i {\sum\limits_{j < i} {{{\vec \delta }_i}.{{\vec \delta }_j}} } = 0\)
Il reste, avec \(L = u\tau\) :
\({r^2} = N{L^2} = \frac{t}{\tau }u\tau L = Lut\)
Soit :
\(r = \sqrt {Lut}\)
Question
AN : estimer le temps que met un parfum après ouverture du flacon à diffuser sur une distance de d = 10 cm ; commentaire.
Solution
L'AN donne : t=3 min 20 s.
Les phénomènes de diffusion sont des phénomènes lents.
En réalité, les molécules de parfum ont une masse plus élevée que celle de l'air, soit u plus petite et donc t encore plus grand, d'où l'utilité de la convection.