Évaporation
(15 minutes de préparation)
Une soucoupe de rayon R = 5 cm et de hauteur L = 2 cm contient de l'eau sur une hauteur h = 3 mm.
Elle est placée dans une pièce à T = 298 K, l'ensemble est initialement à cette température.
On donne :
Coefficient de diffusion de l'eau dans l'air à 25 °C, D≈ 2. 10-5 m2.s-1
Pression de vapeur saturante de l'eau à 25°C : Ps ≈ 3200 Pa.
Question
Au bout de combien de temps n'y a-t-il plus d'eau dans la soucoupe ?
Indice
Penser à se placer dans l'ARQS et à utiliser les conditions aux limites.
Solution
Soit Oz l'axe vertical orienté vers le haut ; on suppose que la diffusion de fait selon cet axe. Les conditions aux limites sont :
\(n(z = h(t),t) = {n_0}\)
où n0 est donnée par la valeur de la pression de vapeur saturante, soit :
\({P_s} = {n_0}kT\)
Et :
\(n(z = \ell ,t) = 0\)
En considérant que la vapeur d'eau est emportée par l'air.
On se place dans l'ARQS :
\(n(z(t)) = Az + B = \frac{{\ell - z}}{{\ell - h(t)}}{n_0}\)
Le vecteur densité de particules vaut ensuite :
\({j_D} = - D\frac{{dn}}{{dz}} = \frac{D}{{\ell - h(t)}}{n_0}\)
Or :
\({j_D} = \frac{{dN}}{{Sdt}} = \frac{D}{{\ell - h(t)}}{n_0}\)
D'où :
\(dN = \frac{D}{{\ell - h(t)}}{n_0}Sdt\)
Ces particules qui diffusent pendant dt proviennent du volume Sdh d'eau liquide qui va se vaporiser, par conséquent :
\(dN = - (Sdh)\frac{{{\rho _{eau}}}}{{{M_{eau}}}}{N_A}\)
D'où :
\(\frac{D}{{\ell - h(t)}}{n_0}Sdt = - (Sdh)\frac{{{\rho _{eau}}}}{{{M_{eau}}}}{N_A}\)
Soit :
\((\ell - h(t))dh = - \frac{{D{n_0}{M_{eau}}}}{{{\rho _{eau}}{N_A}}}dt\)
En intégrant entre t = 0 (alors h(0) = h0) et h(tf) = 0 :
\({t_f} = \frac{{{\rho _{eau}}{N_A}}}{{D{n_0}{M_{eau}}}}{h_0}(\ell - \frac{{{h_0}}}{2}) \approx 33\;h\)