Energie potentielle effective
(20 minutes de préparation)
Une particule \((q>0,m)\) se déplace dans le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I constant.
A \(t=0\), \(\vec {OM}_0=R_0\vec u_x\) et la vitesse initiale \(\vec v_0\) est orthogonale au vecteur \(\vec u_z\).
Question
Montrer que le mouvement de la particule est tel que \(rv_{\theta}=K\), où \(K\) est une constante.
Solution
Le champ magnétique créé par le fil est :
\(\vec B = \frac {\mu_0I}{2\pi r}\vec u_{\theta}\)
Le PFD appliqué à la charge donne :
\(m\frac {d\vec v}{dt}=q\vec v \wedge \vec B\)
On note :
\(\vec v = v_r\vec u_r+v_{\theta}\vec u_{\theta}+v_z\vec u_z=\dot r \vec u_r+r\dot\theta\vec u_{\theta}+\dot z\vec u_z\)
On évalue la force magnétique :
\(q\vec v \wedge \vec B=q( \dot r \vec u_r+r\dot\theta\vec u_{\theta}+\dot z\vec u_z) \wedge \frac {\mu_0I}{2\pi r}\vec u_{\theta}\)
Soit :
\(q\vec v \wedge \vec B=q\frac {\mu_0I}{2\pi r}( \dot r \vec u_z-\dot z\vec u_r) \)
En projection selon \(\vec u_z\) :
\(m\frac {dv_z}{dt}=q\frac {\mu_0I}{2\pi r} \dot r \)
Soit, par intégration :
\(v_z=\frac {q \mu_0I}{2\pi } ln(\frac{r}{R_0}) \)
Question
Montrer que cette particule est soumise à une énergie potentielle effective à déterminer.
Solution
L'énergie cinétique est ici constante (la force magnétique ne travaille pas). Par conséquent :
\(v_0^2=\dot r^2+v^2_{\theta}+v_z^2=\dot r^2+\frac {K^2}{r^2}+(\frac {q \mu_0I}{2\pi } ln(\frac{r}{R_0}))^2\)
Question
Que peut-on en déduire sur le mouvement de la particule ?