Energie potentielle effective

(20 minutes de préparation)

Une particule \((q>0,m)\) se déplace dans le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I constant.

A \(t=0\), \(\vec {OM}_0=R_0\vec u_x\) et la vitesse initiale \(\vec v_0\) est orthogonale au vecteur \(\vec u_z\).

Question

Montrer que le mouvement de la particule est tel que \(rv_{\theta}=K\), où \(K\) est une constante.

Solution

Le champ magnétique créé par le fil est :

\(\vec B = \frac {\mu_0I}{2\pi r}\vec u_{\theta}\)

Le PFD appliqué à la charge donne :

\(m\frac {d\vec v}{dt}=q\vec v \wedge \vec B\)

On note :

\(\vec v = v_r\vec u_r+v_{\theta}\vec u_{\theta}+v_z\vec u_z=\dot r \vec u_r+r\dot\theta\vec u_{\theta}+\dot z\vec u_z\)

On évalue la force magnétique :

\(q\vec v \wedge \vec B=q( \dot r \vec u_r+r\dot\theta\vec u_{\theta}+\dot z\vec u_z) \wedge \frac {\mu_0I}{2\pi r}\vec u_{\theta}\)

Soit :

\(q\vec v \wedge \vec B=q\frac {\mu_0I}{2\pi r}( \dot r \vec u_z-\dot z\vec u_r) \)

En projection selon \(\vec u_z\) :

\(m\frac {dv_z}{dt}=q\frac {\mu_0I}{2\pi r} \dot r \)

Soit, par intégration :

\(v_z=\frac {q \mu_0I}{2\pi } ln(\frac{r}{R_0}) \)

Question

Montrer que cette particule est soumise à une énergie potentielle effective à déterminer.

Solution

L'énergie cinétique est ici constante (la force magnétique ne travaille pas). Par conséquent :

\(v_0^2=\dot r^2+v^2_{\theta}+v_z^2=\dot r^2+\frac {K^2}{r^2}+(\frac {q \mu_0I}{2\pi } ln(\frac{r}{R_0}))^2\)

Question

Que peut-on en déduire sur le mouvement de la particule ?