Vecteur de Runge-Lenz
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Si vous avez des questions complémentaires, n'hésitez pas à les poser sur le forum.
On étudie les mouvements dus à une force centrale :
\(\vec F = - \frac{k}{{r^3 }}\vec r\)
Question
Monter que l'énergie est conservée puis la calculer.
Solution
La force découle de l'énergie potentielle :
\({E_p} = -\frac{k}{r}\)
L'énergie mécanique est donc conservée.
Question
Monter que le mouvement est plan.
Solution
Le moment de \(\vec F\) est nul donc le moment cinétique est une constante.
Ainsi la vitesse et le mouvement se font orthogonalement à une direction fixe et constante.
Le mouvement est donc plan. On appelle \(\vec u_z\) la direction du moment cinétique :
\(\vec L_O=mr^2\dot\theta \vec u_z\)
Question
On pose :
\(\vec A = \vec p \wedge \vec L - km\frac{{\vec r}}{r}\)
Calculer \(\frac{{d\vec A}}{{dt}}\) puis \(\vec A \wedge \vec L\). Quelle est la direction de \(\vec A\) ?
Que peut-on dire sur le vecteur \(\vec p\) ?
Solution
\(\vec A\) est dans le plan du mouvement :
\(\frac{{d\vec A}}{{dt}} = \frac{{d\vec p}}{{dt}} \wedge \vec L - km\frac{{d{{\vec u}_r}}}{{dt}} = \vec F \wedge \vec L - km\dot \theta {\vec u_\theta } = 0\)
C'est un vecteur constant.
On choisit \(\vec A=A\vec u_x\). On définit \(\vec u_y = \vec u_z \wedge \vec u_x\).
On évalue :
\(\vec A \wedge \vec L = \vec p \wedge \vec L \wedge \vec L - km{\vec u_r} \wedge \vec L = {L^2}\vec p - kmL{\vec u_r} \wedge {\vec u_z}\)
On a donc :
\(AL{\vec u_y} + {L^2}\vec p = - kmL{\vec u_\theta }\)
Ainsi, \(\vec p\) parcourt un cercle.
Question
Calculer \(\vec A \cdot \vec r\). Discuter du mouvement en fonction de la norme de A.
Solution
On calcule :
\(\vec A \cdot \vec r =Arcos\theta= \left( {\vec p \wedge \vec L} \right) \cdot \vec r - kmr = \left( {\vec r \wedge \vec p} \right) \cdot \vec L - kmr = {L^2} - kmr\)
où \(\theta\) est l'angle entre la direction de \(\vec A\) et la direction de \(\vec r\).
On en déduit :
\(r = \frac{{{L^2}}}{{A\cos \theta + km}} = \frac{{{\textstyle{{{L^2}} \over {km}}}}}{{1 + {\textstyle{A \over {km}}}\cos \theta }}\)
Le mouvement suit donc une conique d'excentricité :
\(e = \frac{A}{{km}}\)
Si \(e<1\) : la trajectoire est une ellipse (si \(e=0\), c'est un cercle).
Si \(e=1\) : c'est une parabole.
Si \(e>1\) : c'est une hyperbole.