Force centrale
(20 minutes de préparation)
On considère un point matériel soumis à une force centrale d'expression, avec k > 0 :
\(\vec F = - \frac{{km}}{{r^n }}\vec u_r\)
Question
Montrer que le mouvement est plan.
Solution
Le théorème du moment cinétique montre que le moment cinétique est une constante :
\(\vec \sigma_O=\sigma_0 \vec u_z=mC\vec u_z=m r^2 \dot \theta \vec u_z\)
On en déduit classiquement que le mouvement est plan.
Question
Montrer que le mouvement obéit à la loi des aires. On notera C la constante des aires associée au mouvement.
Solution
L'aire \(dA\) balayée par le rayon vecteur pendant dt est :
\(dA = \frac{1}{2} r^2d\theta\)
La vitesse aréolaire est :
\(\frac {dA}{dt}=\frac {1}{2}C=cste\)
C'est la loi des aires.
Question
Déterminer la fonction U(r) telle que :
\(U(r) + \dot r^2 = cste\)
Solution
L'énergie mécanique vaut :
\({E_m} = \frac{1}{2}m\left( {{{\dot r}^2} + {r^2}{{\dot \theta }^2}} \right) - \frac{{km}}{{(n - 1){r^{n - 1}}}} = cste\)
Avec \(\dot \theta = \frac{C}{{{r^2}}}\) :
\({E_m} = \frac{1}{2}m\left( {{{\dot r}^2} + \frac{{{C^2}}}{{{r^2}}}} \right) - \frac{{km}}{{(n - 1){r^{n - 1}}}} = cste\)
La fonction U(r) est donc :
\(U(r) = \frac{{{C^2}}}{{{r^2}}} - \frac{{2k}}{{(n - 1){r^{n - 1}}}}\)
Question
Discuter la nature des trajectoires possibles en fonction de n.
Indice
Quelle est la condition pour que U(r) puisse représenter une "cuvette" de potentiel ?
Solution
On calcule la dérivée première de U(r) :
\(\frac{{dU}}{{dr}} = - 2\frac{{{C^2}}}{{{r^3}}} + 2k\frac{1}{{{r^n}}}\)
Elle s'annule pour :
\(\frac{{{C^2}}}{{{r_0^3}}} = k\frac{1}{{{r_0^n}}}\)
On calcule la dérivée seconde :
\(\frac{{{d^2}U}}{{d{r^2}}} = 6\frac{{{C^2}}}{{{r^4}}} - 2nk\frac{1}{{{r^{n + 1}}}}\)
On l'évalue en \(r_0\) :
\({\left( {\frac{{{d^2}U}}{{d{r^2}}}} \right)_{{r_0}}} = \frac{2}{{{r_0}}}\left( {3\frac{{{C^2}}}{{r_0^3}} - nk\frac{1}{{r_0^n}}} \right) = \frac{2}{{{r_0}}}\left( {3k\frac{1}{{r_0^n}} - nk\frac{1}{{r_0^n}}} \right) = \frac{{2k}}{{r_0^{n + 1}}}\left( {3 - n} \right)\)
Ainsi :
Si \(n<3\) :
\({\left( {\frac{{{d^2}U}}{{d{r^2}}}} \right)_{{r_0}}} > 0\)
La position \(r=r_0\) correspond à une position d'équilibre stable. On est dans un état lié.
Dans le cas où \(n>3\), il n'y a pas de cuvette de potentiel.