Champ magnétique créé par un cylindre
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On considère un cylindre (considéré comme infini) creux, de rayon R, parcouru par un courant surfacique de densité :
\(\vec j_s=a\vec u_{\theta}+b\vec u_z\)
Question
Déterminer le champ magnétique \(\vec B\) en tout point de l'espace.
Indice
Penser à utiliser le principe de superposition.
Solution
On utilise le principe de superposition.
On considère tout d'abord la densité surfacique \(\vec j_{s_1}=a\vec u_{\theta}\).
On est dans une configuration de type "solénoïde".
Le champ magnétique est de la forme : (à l'intérieur du cylindre, et nul à l'extérieur)
\(\vec B_1 =\mu_0 a \vec u_z\)
On considère désormais la répartition \(\vec j_{s_2}=b\vec u_z\).
On est dans la configuration de type "Fil infini parcouru par un courant longitudinal".
Le champ magnétique est alors :
Si \(r<R\) : \(\vec B_2=\vec 0\)
Si \(r>R\) : \(\vec B_2 = \mu_0 b \vec u_{\theta}\)
Le champ magnétique total est ainsi :
A l'intérieur : \(\vec B_{int}=\vec B_1 =\mu_0 a \vec u_z\)
A l'extérieur : \(\vec B_{ext}=\vec B_2 = \mu_0 b \vec u_{\theta}\)
Question
Vérifier les conditions de passage.
Solution
On peut calculer :
\(\vec B_{ext}-\vec B_{int}= \mu_0 b \vec u_{\theta}-\mu_0 a \vec u_z\)
On évalue :
\({\mu _0}{\vec j_s} \wedge {\vec u_r} = {\mu _0}(a{\vec u_\theta } + b{\vec u_z}) \wedge {\vec u_r} = - {\mu _0}a{\vec u_z} + {\mu _0}b{\vec u_\theta }\)
On vérifie bien ainsi la relation de passage :
\({\vec B_{ext}} - {\vec B_{{\mathop{\rm int}} }} = {\mu _0}{\vec j_s} \wedge {\vec u_r}\)