Sphère gravitationnelle creuse ou pleine
(10 minutes de préparation)
On considère :
Sphère creuse massique de rayon R (densité surfacique \(\sigma=cste\))
Sphère pleine massique de rayon R (masse volumique \(\rho=cste\))
Question
Utiliser le théorème de Gauss pour calculer , dans chaque cas, le champ gravitationnel créé en tout point M de l'espace.
Indice
Écrire, par analogie, le théorème de Gauss pour la gravitation.
Solution
Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel \(\vec g\) s'écrit, au niveau local :
\(div\vec g = - 4\pi G\rho\)
où ρ est la masse volumique.
Et, au niveau intégral :
\(\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_{(S)}{\vec g.\vec ndS} = - 4\pi G\sum {{m_{{\mathop{\rm int}} }}}\)
Sphère creuse massique :
Les symétries et invariances donnent :
\(\vec g(M)=g(r)\vec u_r\)
Si \(r<R\) :
\(4\pi r^2g(r)=0\) donc \(g(r)=0\)
Si \(r>R\) :
\(4\pi r^2g(r)=-4\pi G M\) (M est la masse totale de la sphère, \(M=4\pi R^2 \sigma\))
Soit :
\(g(r) = - GM\frac{1}{{{r^2}}}\)
Ce champ est équivalent à celui d'une masse ponctuelle placée au centre de la sphère.
Sphère pleine massique :
Si \(r<R\) :
\(4\pi r^2 g(r)=-4 \pi G \rho (4\pi r^3 /3)\)
D'où :
\(g(r) = - \frac{{4\pi G}}{3}\rho r = - GM\frac{1}{{{R^3}}}r\)
Si \(r>R\) :
\(4\pi r^2g(r)=-4\pi G M\)
Soit :
\(g(r) = - GM\frac{1}{{{r^2}}}\)
Ce champ est équivalent à celui d'une masse ponctuelle placée au centre de la sphère.