Potentiel de Yukawa
Consacrer 15 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Si vous avez des questions complémentaires, n'hésitez pas à les poser sur le forum.
On considère une distribution de charge ayant la symétrie sphérique autour d'un point fixe O.
Le potentiel est donné à une distance r par l'expression (Potentiel de Yukawa) :
\(V(r) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{r}\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)\)
où q et a sont des constantes positives.
Question
Calculer le champ E à une distance r de O ; examiner les cas particuliers r << a et r >> a ; quelle est la signification de a ?
Solution
Le champ électrique est :
\(E(r) = - \frac{{dV(r)}}{{dr}} = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {1 + \frac{r}{a}} \right)\frac{1}{{{r^2}}}\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)\)
On remarque que, pour r<<a :
\(E(r) \approx \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{1}{{{r^2}}}\)
On retrouve le champ créée par une charge ponctuelle q placée en O.
Et, pour r>>a :
\(E(r) \approx 0\)
Vu de "loin", le champ est nulle et la distribution de charges globalement neutre.
a représente ici l'ordre de grandeur de la dimension de l'atome, c'est le rayon de Bohr.
Question
Calculer le flux φ(r) sortant d'une sphère de rayon r et en déduire que la distribution de charges est équivalente à une charge ponctuelle placée en O et à une répartition volumique de charges caractérisée par ρ(r), que l'on déterminera.
Solution
Le flux est donné, en symétrie sphérique, par :
\(\varphi (r) = 4\pi {r^2}E(r)\)
Soit :
\(\varphi (r) = \frac{q}{{{\varepsilon _0}}}\left( {1 + \frac{r}{a}} \right)\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)\)
On considère le volume compris entre deux sphères de rayon \(r\) et \(r+dr\). Le théorème de Gauss appliqué à ce volume donne :
\(\varphi (r + dr) - \varphi (r) = \frac{{d\varphi (r)}}{{dr}}dr = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}4\pi {r^2}dr\rho (r)\)
Soit :
\(\frac{{d\varphi (r)}}{{dr}} = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}4\pi {r^2}\rho (r)\)
D'où l'expression de la densité volumique de charges, censée représenter l'électron de manière semi-quantique :
\(\rho (r) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{{4\pi {r^2}}}\frac{{d\varphi (r)}}{{dr}}\)
Soit :
\(\rho (r) = -\frac{q}{{4\pi }}\frac{1}{{{ra^2}}}\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)\)
Remarque :
La charge \(dq(r)\) comprise dans le volume compris entre deux sphères de rayon \(r\) et \(r+dr\) est :
\(dq(r) = 4\pi {r^2}\rho (r)dr = -q\frac{{{r}}}{{{a^2}}}\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)dr\)
On définit la densité linéique de charges (équivalente à la densité de probabilité en mécanique quantique) :
\(f(r) = \frac{{dq(r)}}{{dr}} = -q\frac{{{r}}}{{{a^2}}}\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)\)
Calculons sa dérivée :
\(f'(r) = - q\frac{1}{{{a^2}}}\left( {1 - \frac{r}{a}} \right)\exp \left( { - \frac{r}{a}} \right)\)
On voit que \(f'(r)=0\) pour \(r=a\) et on peut vérifier qu'il s'agit d'un maximum.
On voit ainsi que l'électron est "essentiellement" réparti autour du rayon de Bohr, rayon qui correspond à la trajectoire circulaire classique de l'électron dans un modèle planétaire d'atome.