Rotation uniforme d'un cylindre chargé en volume
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
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Soit C un cylindre de révolution d'axe (Oz), de rayon a et de longueur très grande devant a.
C, chargé uniformément avec la densité volumique ρ, est mis en rotation autour de (Oz) avec la vitesse angulaire ω (supposée indépendante du temps) sans que cette rotation affecte la répartition des charges dans C.
Question
Déterminer dans tout l'espace le champ électrique \(\vec E\).
Solution
On utilise le théorème de Gauss : (le champ électrique est radial)
Pour \(r>a\) :
\(2\pi rhE(r) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\pi {a^2}h\rho \;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;E(r) = \frac{\rho }{{2{\varepsilon _0}}}\frac{{{a^2}}}{r}\)
Pour \(r<a\) :
\(2\pi rhE(r) = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}\pi {r^2}h\rho \;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;E(r) = \frac{\rho }{{2{\varepsilon _0}}}r\)
On vérifie que le champ électrique est continu à la traversée du cylindre (en r = a).
Question
Déterminer dans tout l'espace le champ magnétique \(\vec B\).
Indice
Les courants sont orthoradiaux. Utiliser le raisonnement suivi pour un solénoïde classique.
Solution
On utilise le théorème d'Ampère :
Le champ magnétique est selon l'axe du solénoïde et on sait qu'il est nul à l'extérieur.
On choisit un contour rectangulaire dont un côté parallèle à l'axe est dans le solénoïde et un autre à l'extérieur.
Alors, pour \(r<a\) :
\(B(r) = {\mu _0}\int_r^a {\rho \omega r'dr'} = \frac{{{\mu _0}\rho \omega }}{2}({a^2} - {r^2})\)