Réflexion sur un métal
(10 minutes de préparation)
Une OPPM est envoyée normalement à un plan parfaitement conducteur.
La polarisation de cette onde est circulaire et le champ électrique associé peut s'écrire en notation réelle :
\(E_{x_i}=E_0 cos(\omega t - k_iz+\pi /2)\)
\(E_{y_i}=E_0 cos(\omega t - k_iz)\)
Question
Déterminer la structure de l'onde résultante.
Solution
Le champ électrique total doit être nul à la surface, par conséquent :
\({E_{x,r}} = - {E_0}\cos (\omega t + {k_i}z + \frac{\pi }{2})\;\;\;\;;\;\;\;\;{E_{y,r}} = - {E_0}\cos (\omega t + {k_i}z)\)
La structure du champ électrique total au-dessus de métal est :
\(\begin{array}{l}{E_x} = {E_{x,i}} + {E_{x,r}} = {E_0}\left[ {\cos (\omega t - {k_i}z + \frac{\pi }{2}) - \cos (\omega t + {k_i}z + \frac{\pi }{2})} \right] = 2{E_0}\cos \omega t\sin {k_i}z \\{E_y} = {E_{y,i}} + {E_{y,r}} = {E_0}\left[ {\cos (\omega t - {k_i}z) - \cos (\omega t + {k_i}z)} \right] = 2{E_0}\sin \omega t\sin {k_i}z \\\end{array}\)
On obtient une onde stationnaire.
Le champ magnétique s'obtient avec l'équation de Maxwell-Faraday :
\(\overrightarrow {rot} \vec E = \left| \begin{array}{l}0 \\0 \\\partial /\partial z \\\end{array} \right. \wedge \left| \begin{array}{l}2{E_0}\cos \omega t\sin {k_i}z \\2{E_0}\sin \omega t\sin {k_i}z \\0 \\\end{array} \right. = \left| \begin{array}{l}- 2{E_0}{k_i}\sin \omega t\cos {k_i}z \\- 2{E_0}{k_i}\cos \omega t\cos {k_i}z \\0 \\\end{array} \right. = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\)
D'où :
\(\vec B = \left| \begin{array}{l}- 2\frac{{{E_0}{k_i}}}{\omega }\cos \omega t\cos {k_i}z = - 2\frac{{{E_0}}}{c}\cos \omega t\cos {k_i}z \\2\frac{{{E_0}{k_i}}}{\omega }\sin \omega t\cos {k_i}z = 2\frac{{{E_0}}}{c}\sin \omega t\cos {k_i}z \\0 \\\end{array} \right.\)
On peut calculer le vecteur de Poynting et vérifier que sa valeur moyenne est nulle : une onde stationnaire ne transporte pas d'énergie.