Dans la théorie de Maxwell, l'interaction entre deux particules est transmise par l'intermédiaire de modifications de proche en proche du champ EM.

Cette propagation de l'interaction par l'intermédiaire du champ EM se fait précisément sous forme d'ondes EM avec la célérité c.

Pour se représenter l'interaction de deux particules dans le cadre d'une théorie de champ, une image possible est celle de deux bouchons A et B flottant sur l'eau et initialement immobiles.

Une oscillation verticale de A engendre des oscillations de l'eau qui se transmettent de proche en proche dans toutes les directions jusqu'à ce qu'elles atteignent B qui est alors mis en mouvement.

Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le champ EM et ses sources :

\(\mathrm{div} \vec{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}\) (Équation de Maxwell - Gauss, MG)

\(\mathrm{div} \vec{B} =0\) (Équation du flux magnétique)

\(\overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\) (Équation de Maxwell - Faraday, MF)

\(\overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec B = \mu_0 \vec{\jmath} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\) (Équation de Maxwell - Ampère, MA)

• Les équations de Maxwell et la conservation de la charge :

Les équations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge.

En effet, si l'on prend la divergence de l'équation de MA :

\(\mathrm{div} (\overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec B) = 0 = \mu_0 \mathrm{div} \vec{\jmath}+\epsilon_0 \mu_0 \mathrm{div} \frac{\partial \vec E}{\partial t} = \mu_0(\mathrm{div} \vec{\jmath}+ \frac{\partial \rho}{\partial t})\)

Soit :

\(\mathrm{div} \vec{\jmath}+ \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\)

Ainsi, il n'est pas nécessaire d'ajouter la conservation de la charge aux postulats de l'EM dans la mesure où celle-ci découle des équations de Maxwell.

• Nécessité du courant de déplacement \(\vec{\jmath_D} = \varepsilon _0 \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}}\) :

En régime quelconque, on va poser :

\(\overrightarrow {rot} \;\vec B = \mu _0 (\vec j + \vec j_D )\)

Alors :

\(div\;\vec j = \frac{1}{{\mu _0 }}div(\overrightarrow {rot} \vec B) - div\;\vec j_D = - div\;\vec j_D\)

Soit encore, si l'on veut respecter le principe de conservation de la charge :

\(div\;\vec j = - div\;\vec j_D = - \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}\)

En utilisant l'équation de MG :

\(- div\;\vec j_D = - \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = - \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\varepsilon _0 div\;\vec E} \right)\)

Soit :

\(div\left( {\vec j_D - \varepsilon _0 \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}}} \right)\; = 0\)

La solution la plus simple de cette équation correspond bien au choix du courant de déplacement :

\(\vec{\jmath_D} = \varepsilon _0 \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}}\)