Vitesse de propagation de l'énergie
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Soit un champ électrique qui a la structure d'une onde plane progressive harmonique, d’amplitude E0, de pulsation ω, de vecteur d'onde k, se propageant selon Oz et polarisé selon Ox.
Question
Écrire l'expression du champ électrique \(\vec E\).
Solution
En notation complexe :
\(\underline {\vec E} = E_0 e^{i(\omega t - k z)} \vec u_x\)
Question
Calculer la valeur moyenne de la densité volumique d'énergie électromagnétique en un point de l'espace.
Solution
Le champ magnétique se calcule à l'aide de la relation de structure :
\(\underline{\vec B} = \frac {\vec k}{\omega}\wedge \underline {\vec E} = \frac {\vec u_z}{c}\wedge \underline {\vec E}\)
Soit :
\(\underline {\vec B} = \frac {E_0}{c} e^{i(\omega t - k z)} \vec u_y\)
La valeur moyenne de la densité volumique d'énergie électromagnétique est alors :
\(<u_{em}>=\frac {1}{2}\frac {1}{2}Re(\varepsilon_0 \underline {\vec E} \;\underline {\vec E^*})+\frac {1}{2}\frac {1}{2}Re(\frac{1}{\mu_0 }\underline {\vec B} \;\underline {\vec B^*})\)
Soit, avec \(\varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1\) :
\(<u_{em}>=\frac {1}{2} \varepsilon_0 E_0^2\)
Question
Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting.
Solution
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est :
\(\left\langle {\vec \Pi } \right\rangle = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{\underline {\vec E} \wedge {{\underline {\vec B} }^*}}}{{{\mu _0}}}} \right) = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}cE_0^2\;{\vec u_z}\)
Question
Calculer la valeur moyenne de l'énergie \(<dU>\) sur un volume de surface dS = dxdy et d'épaisseur dz.
Solution
La valeur moyenne de l'énergie dans le volume est :
\(<dU>=\frac {1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 dxdydz\)
Question
Calculer le flux d'énergie \(<d\phi>\) à travers cette surface dS durant un intervalle de temps dt.
Solution
Le flux d'énergie \(<d\phi>\) à travers cette surface dS durant un intervalle de temps dt est relié au flux du vecteur de Poynting, qui est une puissance :
\(<d\phi>=\frac{1}{2}{\varepsilon _0}cE_0^2 dxdydt\)
Question
En déduire la valeur de la vitesse de propagation de l'énergie électromagnétique. Commentaire.
Solution
Si \(v_e\) désigne la vitesse de propagation de l'énergie, alors :
\(dz=v_e dt\)
En égalant les deux énergies calculées aux questions précédentes :
\(<dU>=\frac {1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 dxdyv_edt=<d\phi>=\frac{1}{2}{\varepsilon _0}cE_0^2 dxdydt\)
Il reste :
\(v_e=c\)
Ainsi, dans le vide (milieu non dispersif), la vitesse de propagation est celle de propagation de l'onde, soit c.
Les vitesses de phase et de groupe (correspondant souvent à la vitesse de propagation de l'énergie) sont égales.