Superposition d'ondes planes, interférences
(10 minutes de préparation)
On étudie la structure de l'onde résultant de la superposition dans le vide de deux ondes électromagnétiques planes de même pulsation ω, de même amplitude Em, polarisées rectilignement suivant Oy.
Elles se propagent selon deux directions \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\), contenues dans le plan Oxz et telles que :
\({\rm{(\vec u}}_{\rm{z}} {\rm{,\vec u}}_{\rm{1}} ) = \theta\) et \( {\rm{(\vec u}}_{\rm{z}} {\rm{,\vec u}}_{\rm{2}} ) = -\theta\)
Question
Établir l'expression du champ électrique résultant \(\vec E\). Quelle est sa vitesse de phase \(v_\varphi\) ? L'onde est-elle plane ?
Solution
L'onde 1 a pour vecteur d'onde :
\({\vec k_1} = {k_0}{\vec u_1} = {k_0}\left( {\sin \theta {{\vec u}_x} + \cos \theta {{\vec u}_z}} \right)\)
Avec :
\({k_0} = \frac{\omega }{c}\)
Son champ électrique est donc :
\({\vec E_1} = {E_m}\exp \left[ {j(\omega t - {k_0}(x\sin \theta + z\cos \theta )} \right]{\vec u_y}\)
De même pour l'onde 2 :
\({\vec k_2} = {k_0}{\vec u_2} = {k_0}\left( { - \sin \theta {{\vec u}_x} + \cos \theta {{\vec u}_z}} \right)\)
Et :
\({\vec E_2} = {E_m}\exp \left[ {j(\omega t - {k_0}( - x\sin \theta + z\cos \theta )} \right]{\vec u_y}\)
Le champ électrique résultant est :
\(\vec E = {\vec E_1} + {\vec E_2} = 2{E_m}\cos ({k_0}x\sin \theta )\exp \left[ {j(\omega t - {k_0}z\cos \theta } \right]{\vec u_y}\)
Ce champ est polarisé rectilignement selon Oy et se propage dans le sens des z croissants.
Son amplitude varie selon Ox ; il n'est donc plus uniforme dans un plan d'onde.
Sa vitesse de phase est :
\({v_\varphi } = \frac{\omega }{{{k_0}\cos \theta }} = \frac{c}{{\cos \theta }} > c\)
Question
Déduire l'expression du champ magnétique \(\vec B\).
Solution
1ère méthode :
On détermine les deux champs magnétiques associés à chacun des champs électriques par la relation de structure :
\({\vec B_i} = \frac{{{{\vec u}_i} \wedge {{\vec E}_i}}}{c}\)
Et on les ajoute. On obtient :
\(\vec B = \frac{{2{E_m}}}{c}\left[ { - \cos \theta \cos ({k_0}x\sin \theta ){{\vec u}_x} + j\sin \theta \sin ({k_0}x\cos \theta ){{\vec u}_z}} \right]{\exp ^{j(\omega t - {k_0}z\cos \theta )}}\)
2ème méthode :
On utilise le champ résultant et l'équation de Maxwell-Faraday :
\(\overrightarrow {rot} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\)
On obtient bien sûr le même résultat.
Question
Calculer la valeur moyenne temporelle \(\left\langle {{\rm{\vec R}}} \right\rangle\) du vecteur de Poynting et étudier l'éclairement d'une surface perpendiculaire à \(\left\langle {{\rm{\vec R}}} \right\rangle\).
Solution
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est :
\(\left\langle {\vec \Pi } \right\rangle = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{\vec E \wedge {{\vec B}^*}}}{{{\mu _0}}}} \right) = \frac{{2E_m^2}}{{{\mu _0}c}}\cos \theta {\cos ^2}({k_0}x\sin \theta ){\vec u_z}\)
L'énergie est donc globalement transportée dans la direction de propagation.
Effectivement, les résultats précédents montrent que l'onde résultante est stationnaire selon Ox et progressive selon Oz.
Dans un plan z = cste, l'éclairement n'est pas uniforme.
Si la fréquence de l'onde EM se situe dans le spectre visible, on observe une série de franges rectilignes parallèles à (Oy), alternativement brillantes et noires, dont la période (l'interfrange) est :
\(i = \frac{\lambda }{{2\sin \theta }}\)