Portrait de phase d'un oscillateur
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On considère le portrait de phase d'un oscillateur harmonique amorti composé d'une masse \(m=500\;g\), soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide (\(\vec f=-\lambda\vec v\)) , \(\vec v\) étant la vitesse de la masse m.
On note x l'écart à la position d'équilibre).
L'étude est réalisée dans le référentiel galiléen du laboratoire.
Question
Déterminer la nature du régime de l'oscillateur.
Solution
Régime pseudo-périodique : présence de frottements, la courbe de phase n'est pas fermée.
Elle se termine en un point d'équilibre stable (ici le point O), appelé attracteur.
Question
Déterminer, par lecture graphique :
La valeur initiale de la position \(x_0\).
La valeur finale de la position \(x_f\).
La pseudo - période \(T_a\).
Le décrément logarithmique \(\delta\).
Solution
Par lecture directe du diagramme :
\(x_0=3\;cm\) et \(x_f=0\;cm\)
De même, la pseudo-période vaut :
\(T_a=315\;ms\)
Le décrément logarithmique est :
\(\delta = \ln \left( {\frac{{{x_0}}}{{{x_1}}}} \right) = \ln \left( {\frac{{{{3.10}^{ - 2}}}}{{{{1,6.10}^{ - 2}}}}} \right) = 0,628\;\;\;\;;\;\;\;\;x(t + {T_a}) = {e^{ - \delta }}x(t) = {e^{ - \sigma {\omega _0}{T_a}}}x(t)\)
Question
En déduire la pulsation propre \(\omega_0\), le facteur de qualité Q de l'oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide \(\lambda\).
Solution
On trouve :
\(Q=5\), \(\omega_0=20,05\;rad.s^{-1}\) et \(\sigma=1/2Q=0,1\)
On note que \(Q\) donne l'ordre de grandeur du nombre d'oscillations visibles.
On en déduit :
\(k=m\omega_0^2=201\;N.m^{-1}\) et \(\lambda=m\frac{\omega_0}{Q}=2\;N.m^{-1}.s\)