Un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide obéit à l'équation différentielle suivante (cas à une dimension) :

\(m\ddot x = - kx - hm\dot x\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\ddot x + h\dot x + \frac{k}{m}x = 0\)

On pose :

\({\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;h = 2\lambda = 2\sigma {\omega _0} = \frac{{{\omega _0}}}{Q}\)

\(\sigma\) est le facteur d'amortissement de l'oscillateur et Q le facteur de qualité.

Alors :

\(\;\ddot x + 2\lambda \dot x + \omega _0^2x = \ddot x + 2\sigma {\omega _0}\dot x + \omega _0^2x = \ddot x + \frac{{{\omega _0}}}{Q}\dot x + \omega _0^2x = 0\)

On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes.

On aboutit au polynôme caractéristique :

\(r^2+2\sigma \omega_0 r+\omega_0^2=0\)

dont le discriminant est :

\(\Delta=4\omega_0^2(\sigma^2-1)\)

Différents régimes sont observés, selon les valeurs prises par \(\sigma\) (ou \(Q=1/2\sigma\)) :

• régime pseudo-périodique : alors \(\sigma<1\)

  Dans le cas où \(x(0)=x_0\) et la vitesse initiale nulle :

  \(\begin{array}{l}x(t) = {x_0}{e^{ - \sigma {\omega _0}t}}\left( {\cos (\omega t) + \frac{{\sigma {\omega _0}}}{\omega }\sin (\omega t)} \right) \\x(t) = C{e^{ - \sigma {\omega _0}t}}\cos (\omega t - \phi ) \\C = x_0^{}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\sigma {\omega _0}}}{\omega }} \right)}^2}} \;\;\;;\;\;\;\tan \phi = \frac{{\sigma {\omega _0}}}{\omega } \\\end{array}\)

  Avec :

  \(avec\;\omega = {\omega _0}\sqrt {1 - {\sigma ^2}} \)

  la pseudo-pulsation.

  On peut noter que le facteur de qualité \(Q\) donne l'ordre de grandeur du nombre de pseudo-oscillations visibles expérimentalement.

• régime apériodique : alors \(\sigma>1\)

  Dans le cas où \(x(0)=x_0\) et la vitesse initiale nulle :

  \({r_1} = - \sigma {\omega _0} + {\omega _0}\sqrt {{\sigma ^2} - 1} \;;\;{r_2} = - \sigma {\omega _0} - {\omega _0}\sqrt {{\sigma ^2} - 1}\)

  \(\begin{array}{l}\omega = {\omega _0}\sqrt {{\sigma ^2} - 1} \\x(t) = {x_0}{e^{ - \sigma {\omega _0}t}}\left( {ch(\omega t) + \frac{{\sigma {\omega _0}}}{\omega }sh(\omega t)} \right) \\x(t) = \frac{{{x_0}}}{2}{e^{ - \sigma {\omega _0}t}}\left( {\left( {1 - \frac{{\sigma {\omega _0}}}{\omega }} \right){e^{ - \omega t}} + \left( {1 + \frac{{\sigma {\omega _0}}}{\omega }} \right){e^{\omega t}}} \right) \\\end{array}\)

• régime apériodique critique : alors \(\sigma=1\)

  Dans le cas où \(x(0)=x_0\) et la vitesse initiale nulle :

  \(x(t) = {x_0}(1 + {\omega _0}t){e^{ - {\omega _0}t}}\)

En présence d'une force de frottement fluide de la forme :

\(\vec f_v=-hm\vec v\)

Le PFD projeté sur le vecteur \(\vec u_{\theta}\) donne : (on peut aussi utiliser le théorème du moment cinétique)

\(m\ell \ddot \theta = - mg\sin \theta - hm(\ell \dot \theta )\)

Soit :

\(\ddot \theta + h\dot \theta + \frac{g}{\ell }\sin \theta = \ddot \theta + 2\sigma {\omega _0}\dot \theta + \omega _0^2\sin \theta = 0\)

Si l'angle \(\theta\) reste « petit », alors on retrouve l'équation habituelle :

\(\ddot \theta + h\dot \theta + \frac{g}{\ell }\theta = \ddot \theta + 2\sigma {\omega _0}\dot \theta + \omega _0^2\theta = 0\)

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Intérêt de l'étude :

L'analyse harmonique (ou fréquentielle) d'un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c'est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu'il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ω.

Modèle choisi : oscillateur mécanique vertical à point d'attache mobile

Le point d'attache du ressort est mobile en A.

Dans le référentiel galiléen du sol :

\(m\ddot x = mg - hm\dot x - k({\ell _{eq}} + x - {x_A} - {\ell _0})\)

En utilisant la condition d'équilibre :

\(\ddot x + h\dot x + \frac{k}{m}x = \frac{k}{m}{x_A}\)

Soit, avec les notations habituelles :

\(\ddot x + 2\sigma {\omega _0}\dot x + \omega _0^2x = \omega _0^2{x_A}\)

Dans la suite, on choisit :

\({x_A} = {X_{A,m}}\cos (\omega t)\)

Cette équation est formellement identique à celle vérifiée par la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit série (RLC) alimenté par un GBF (voir cours d'électricité) :

Si on note \(u_C\) la tension aux bornes du condensateur : (\(u_C=q/C\))

\(L\ddot q + R\dot q + \frac{1}{C}q = e(t)\)

Soit :

\({\ddot u_C} + \frac{R}{L}{u_C} + \frac{1}{{LC}}{u_C} = \frac{1}{{LC}}e(t)\)

Méthode de résolution par les nombres complexes (comme en électricité) :

On pose :

\({\underline x _A} = {X_{A,m}}{e^{i\omega t}}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\underline x = {X_m}{e^{i(\omega t + \phi )}}\;\;\;(x = {X_m}\cos (\omega t + \phi ))\)

Alors :

\(\underline {\dot x} = i\omega \underline x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline {\ddot x} = i\omega \underline {\dot x} = {(i\omega )^2}\underline x = - {\omega ^2}\underline x\)

Réponse en amplitude \(x(t)\) :

\(\begin{array}{l}\ddot x + 2\sigma {\omega _0}\dot x + \omega _0^2x = \omega _0^2{x_A} \\- \omega _{}^2\underline x + 2\sigma {\omega _0}(i\omega \underline x ) + \omega _0^2\underline x = \omega _0^2{\underline x _A} \\\left[ {(\omega _0^2 - \omega _{}^2) + 2i\sigma {\omega _0}\omega } \right]\;\underline x = \omega _0^2{\underline x _A} \\\end{array}\)

Soit :

\(\;\underline x = \frac{{\omega _0^2}}{{(\omega _0^2 - \omega _{}^2) + 2i\sigma {\omega _0}\omega }}{\underline x _A}\)

Ou encore :

\({X_m}{e^{i\phi }} = \frac{{\omega _0^2}}{{(\omega _0^2 - \omega _{}^2) + 2i\sigma {\omega _0}\omega }}{X_{A,m}}\)

L'amplitude maximale s'obtient en prenant le module de l'expression précédente :

\({X_m} = \frac{{\omega _0^2}}{{\sqrt {{{(\omega _0^2 - \omega _{}^2)}^2} + 4{\sigma ^2}\omega _0^2{\omega ^2}} }}{X_{A,m}}\)

\(X_m\) est maximale pour une pulsation qui vaut (et qui existe si \(\sigma <1/\sqrt{2}\)) :

\(\;\omega _r^{} = \omega _0^{}\sqrt {1 - 2{\sigma ^2}}\)

Et l'amplitude maximale à la « résonance d'amplitude » est :

\({X_m}({\omega _r}) = \frac{1}{{2\sigma \sqrt {1 - {\sigma ^2}} }}{X_{A,m}}\)

Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d'amortissement \(\sigma\) : (\(Q=1/2\sigma\)) :

\(\;\omega _r^{} = \omega _0^{}\sqrt {1 - \frac{1}{{2{Q^2}}}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Et :

\({X_m}({\omega _r}) = \frac{Q}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{4{Q^2}}}} }}{X_{A,m}}\)

Remarque :

Pour de faibles amortissements (\(sigma\) "faible" et \(Q\) "grand"), alors :

\(\;\omega _r^{} \approx \omega _0^{}\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;{X_m}({\omega _r}) \approx Q{X_{A,m}}\)

Ainsi, si \(Q=10\), l'amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l'excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

La figure précédente donne l'allure de \(X_m(\omega)\) pour différentes valeurs du facteur de qualité \(Q\).

On a choisi \(X_{A,m}=1\) et posé \(u=\omega/\omega_0\).

Plus Q est grand et plus la résonance est aigüe.

L'oscillateur constitue un filtre passe-bas, avec ou sans résonance.

Réponse en vitesse :

En notation réelle : \(v(t) = {V_m}\cos (\omega t + \psi )\)

En notation complexe : \(\underline v (t) = {V_m}{e^{i(\omega t + \psi )}}\)

En remarquant que \(\underline v = \underline {\dot x} = i\omega x\), il vient :

\(\;\underline v = i\omega \left( {\frac{{\omega _0^2}}{{(\omega _0^2 - \omega _{}^2) + 2i\sigma {\omega _0}\omega }}{{\underline x }_A}} \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{i\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right) + 2\sigma }}{\underline x _A}\)

Ou encore :

\({V_m}{e^{i\psi }} = \frac{{\omega _0^{}}}{{2\sigma + i\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)}}{X_{A,m}}\)

L'amplitude maximale de la vitesse \(V_m(\omega)\) s'obtient à partir du module :

\({V_m}(\omega ) = \frac{{\omega _0^{}}}{{\sqrt {4{\sigma ^2} + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)}^2}} }}{X_{A,m}}\)

\(V_m(\omega)\) sera maximale (on parle alors de résonance de vitesse), si le dénominateur est minimal, c'est à dire pour une pulsation telle que :

\(\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega } = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega = {\omega _0}\)

L'amplitude de la vitesse valant alors :

\({V_m}({\omega _0}) = \frac{{\omega _0^{}}}{{2\sigma }}{X_{A,m}} = Q\omega _0^{}{X_{A,m}}\)

La figure précédente donne l'allure de \(V_m(\omega)\) pour différentes valeurs du facteur de qualité \(Q\).

On a choisi \(X_{A,m}=1\) et posé \(u=\omega/\omega_0\).

Plus Q est grand et plus la résonance est aigüe.

L'oscillateur constitue un filtre passe-bande.

Bande passante du filtre passe-bande :

C'est l'ensemble des pulsations ω pour lesquelles le gain en vitesse reste, par convention, supérieur au gain maximal (obtenu pour ω₀) divisé par \(\sqrt{2}\).

La largeur de la bande passante vaut :

\(\Delta \omega = {\omega _{{c_2}}} - {\omega _{{c_1}}} = 2\sigma {\omega _0} = \frac{{{\omega _0}}}{Q}\)

Elle est d'autant plus faible (résonance aiguë) que l'amortissement est faible (et le facteur de qualité grand).