Lien avec le module de Young
Fondamental : Lien avec le module de Young
Loi phénoménologique de Hooke :
La force dF qu'il faut exercer perpendiculairement à une surface dS d'un solide pour provoquer un déplacement u(x,t) est :
\(dF = Y\frac{{\partial u}}{{\partial x}}dS\)
où Y désigne le module de Young.
On peut exprimer Y en fonction des grandeurs microscopiques définies dans la partie (a), soit k, m et a.
Pour cela, on considère un modèle de solide tridimensionnel constitué de chaînes d'atomes associées en parallèle de telle sorte qu'à l'équilibre les atomes soient situés aux sommets d'un réseau cubique de pas a et d'axe (Ox), (Oy) et (Oz).
Dans un tel réseau, chaque cube de côté a contient 8 atomes placés sur ses 8 sommets, chaque atome étant commun aux 8 cubes qui se touchent en ce point.
Il y a donc \(8/8=1\) atome de masse m par cube de volume \(a^3\), ce qui permet d'exprimer la masse volumique du solide :
\(\mu=\frac {m}{a^3}\)
On considère une déformation du solide le long de (Ox) telle que les atomes situés en \(na\) à l'équilibre soient en \(x_n=na+u_n\) un en présence de la déformation.
Soit une surface dS de ce solide découpée dans le plan d'abscisse \(x_n\).
La force exercée par l'atome \(n+1\) d'une chaîne sur l'atome \(n\) vaut :
\(f = k(x_{n + 1} - x_n - d)\)
La surface dS contient \(dS/a^2\) chaînes d'atomes jouant le même rôle.
Donc la force exercée par la partie de solide située à droite de dS sur la partie située à gauche s'écrit :
\(dF = \left( {\frac{{dS}}{{a^2 }}} \right)k(x_{n + 1} - x_n - a) = \frac{k}{{a^2 }}(u_{n + 1} - u_n )dS\)
Dans l'approximation des milieux continus :
\(dF = \frac{k}{{a^2 }}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}a} \right)dS = \frac{k}{a}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\;dS\)
On démontre ainsi la loi de Hooke, avec le module de Young égal à :
\(Y=\frac {k}{a}\)
On remarque que Y est homogène à une force par une surface, soit une pression.
La vitesse de propagation du son dans le solide peux s'exprimer en fonction de Y. Les relations :
\(c = \sqrt {\frac{{ka^2 }}{m}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mu = \frac{m}{{a^3 }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y = \frac{k}{a}\)
donnent finalement :
\(c = \sqrt {\frac{Y}{\mu }}\)