Étude mésoscopique
Fondamental : Étude mésoscopique
On peut obtenir l'équation de d'Alembert par une étude mésoscopique directe du matériau élastique étudié.
Pour cela, on prend une tranche de matériau d'épaisseur au repos \(dx\), de surface \(dS\) et donc de masse \(\mu dS dx\).
Elle subit, d'après la loi de Hooke, une force dF(x +dx,t) en x + dx et, par action et réaction, une force – dF(x,t) en x (l'élément différentiel pour les forces n'est pas relatif à l'épaisseur élémentaire dx, mais à la surface élémentaire dS).
Le PFD donne :
\(\mu dSdx\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial t^2 }} = dF(x + dx,t) - dF(x,t) = \frac{{\partial (dF)}}{{\partial x}}dx = YdS\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}dx\)
d'où l'équation d'onde :
\(\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial t^2 }} - \frac{1}{{c^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v = \sqrt {\frac{Y}{\mu }}\)
Applications numériques :
Pour \(Y=10^{11}N.m^{-2}\) et \(\mu = 3\) à \(10.10^3\;kg.m^{-3}\), on a \(c\approx 3000\) à \(5000\;m.s^{-1}\), ordre de grandeur des vitesses des ondes acoustiques des ondes dans un solide.