Ondes sonores dans les solides ("Classe inversée", PC*)

Cette expérience consiste à faire passer un faisceau lumineux issu d'une source unique à travers de minuscules trous, percés dans un plan opaque.

La figure obtenue sur un écran situé au delà des deux trous est constituée de lignes alternativement lumineuses et sombres, appelées franges d'interférences.

Cette expérience historique mettait clairement en évidence le caractère ondulatoire de la lumière.

Mais il aura fallu attendre la fin du XIX^ème siècle pour que le physicien écossais James Clerk Maxwell interprète bien finalement la lumière comme étant la propagation d'ondes électromagnétiques.

Quand un solide est déformé par un choc ou une compression, la déformation gagne les atomes voisins qui, se mettant à vibrer autour de leur position d'équilibre, agissent à leur tour de proche en proche, propageant finalement la déformation dans tout le milieu.

Afin de mieux comprendre cette propagation de la déformation, on prend l'exemple simple d'un solide cristallin, dont la maille élémentaire est un cube d'arête a dont les atomes occupent les sommets.

Les atomes ponctuels, de masse m, sont reliés entre eux par des ressorts horizontaux, de constante de raideur k et distants de la longueur a, correspondant à la distance inter-atome à l'équilibre.

Isolons une chaîne horizontale d'atomes : ces atomes, couplés élastiquement par des ressorts, constituent une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mouvements vibratoires, c'est-à-dire la propagation du son dans un solide.

La distance inter-atome a est de l'ordre de \(10^{-10}\;m\) : c'est une distance très inférieure à la période spatiale du déplacement longitudinal, c'est à dire la longueur d'onde de la vibration, de l'ordre de 25 cm à 20 kHz, pour une vitesse de 5 000 m.s^-1.

Par conséquent, l'élongation \(u_n(t)\) varie très peu sur la distance \(a\).

L'approximation des milieux continus consiste alors à définir une fonction \(u\) continue, représentant le déplacement longitudinal à l'abscisse \(x\) et à l'instant \(t\), de la manière suivante :

\(u_n(t)=u(na,t)\)

Le module d'Young est donné, au niveau macroscopique, par :

\(Y=\frac{k}{a}\)

où k est la constante de raideur des ressorts et \(a\) la distance inter - atomes à l'équilibre.

Ce module permet d'écrire la loi de Hooke :

\(F(x,t) = YS\;\frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial x}}\)

La force F exercée par la partie de solide située à droite de la surface sur la partie située à gauche est proportionnelle à l'allongement relatif du solide : c'est la loi de Hooke. Le coefficient de proportionnalité est le module d'Young, homogène à une pression.

Une étude mésoscopique, utilisant la loi de Hooke, conduit à l'expression :

\(c=\sqrt{\frac{Y}{\mu}}\)

On a constaté, dans l'expérience, que la vitesse du son est d'autant plus grande que le milieu est rigide (module d'Young important) et peu inerte (masse volumique faible).