Chaîne infinie d'oscillateurs et approximation des milieux continus
Fondamental : Chaîne infinie d'oscillateurs et approximation des milieux continus
Afin d'étudier la propagation d'ondes sonores dans les solides, on utilise le modèle suivant (voir figure) :
Le solide est constitué d'une chaîne infinie d'atomes ponctuels, de masse m, reliés entre eux par des ressorts de raideur k et de longueur à vide a (correspondant à la distance inter-atome à l'équilibre).
La chaîne d'atomes couplés élastiquement (rappel linéaire) par des ressorts constitue une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mouvements vibratoires dans un solide, c'est-à-dire la propagation du son dans un solide.
Ce dernier est en effet constitué d'empilements réguliers d'atomes (ions ou molécules).
Les forces rappelant un atome vers sa position d'équilibre peuvent être modélisées, à l'ordre linéaire, par un rappel élastique, dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles (on suppose ici que le solide est homogène et isotrope).
Le mouvement de l'ensemble se fait sans frottements le long de l'axe (Ox).
Les atomes se déplacent légèrement autour de leurs positions d'équilibres respectives, que l'on peut repérer sous la forme \(x_{eq,n}=na\).
On repère les positions des atomes hors équilibre par leurs abscisses :
\(x_n(t)=na+u_n(t)\)
où les déplacements \(u_n(t)\) restent faibles vis-à-vis de a.
Le théorème du CI appliqué à l'atome de rang (n) donne, en projection :
\(m\ddot x_n = - k(u_n - u_{n - 1} ) + k(u_{n + 1} - u_n ) = - k(2u_n - u_{n - 1} - u_{n + 1} )\)
La distance a inter-atome est de l'ordre de \(a\approx 10^{-10}\;m\), distance très inférieure aux distances caractéristiques des phénomènes de propagation que l'on étudie, notamment vis-à-vis de la longueur d'onde de la vibration (de l'ordre de 25 cm à 20 kHz). Par conséquent, \(u_n(t)\) varie très peu sur la distance a.
On va ainsi définir une fonction continue u de la manière suivante : (approximation des milieux continus)
\(u(x_{eq,n},t)=u_n(t)\)
Il vient alors (développement de Taylor-Young au second ordre) :
\(\left\{ \begin{array}{l}u_{n + 1} (t) = u(x_{eq,n + 1} ,t) = u(x_{eq,n} + a,t) = u(x_{eq,n} ,t) + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}a + \frac{1}{2}\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}a^2 \\u_{n - 1} (t) = u(x_{eq,n - 1} ,t) = u(x_{eq,n} - a,t) = u(x_{eq,n} ,t) - \frac{{\partial u}}{{\partial x}}a + \frac{1}{2}\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}a^2 \\\end{array} \right.\)
Et l'équation du mouvement devient alors :
\(m\frac{{\partial ^2 u(x,t)}}{{\partial t^2 }} = k\left( {\frac{{\partial ^2 u(x,t)}}{{\partial x^2 }}\;a^2 } \right)\)
Soit :
\(\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} - \frac{1}{{c^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c = \sqrt {\frac{{ka^2 }}{m}}\)
C'est l'équation d'onde de d'Alembert, déjà obtenu en EM lors du chapitre sur les équations locales.
On sait qu'elle est associée à un phénomène ondulatoire de célérité c.
Cette vitesse ne doit pas être confondue avec la vitesse de déplacement longitudinal des atomes \(\frac {\partial u}{\partial t}\).
Les ondes sont ici longitudinales car le mouvement des atomes se fait dans la direction de propagation.