Pendule pesant et pendule de torsion
Fondamental : Étude du pendule pesant
On considère le pendule pesant de la figure suivante.
On note \(I_{\Delta}\) le moment d'inertie de ce pendule par rapport à l'axe de rotation \(\Delta=Oz\).
La liaison pivot en O est supposée parfaite.
On note \(\vec \Omega =\Omega \vec u_z=\dot \theta \vec u_z\) le vecteur vitesse angulaire du pendule, \(\theta\) étant l'angle avec la verticale (voir figure).
Application du théorème du moment cinétique :
Le moment cinétique du pendule par rapport à l'axe de rotation \(\Delta\) est :
\(L_{\Delta}=I_{\Delta}\Omega\)
Le moment du poids par rapport à O est :
\(\vec M_{m\vec g}=\vec {OG}\wedge m\vec g=-mgasin\theta \vec u_z\)
où \(a=OG\).
La réaction du support, appliquée en O, a un moment nul.
Par conséquent, le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe de rotation donne directement :
\(I_{\Delta} \ddot \theta = -mgasin\theta\)
Étude énergétique :
La liaison étant parfaite, la réaction du support ne travaille pas.
Le pendule pesant est un système conservatif. Son énergie mécanique est :
\(E_m=\frac{1}{2}I_{\Delta}\dot \theta^2-mgacos\theta\)
En dérivant par rapport au temps, on retrouve l'équation différentielle précédente.
Cas des petits mouvements :
On peut alors assimiler \(sin\theta \approx \theta\). Ainsi :
\(\ddot \theta+\frac{mga}{I_{\Delta}}\theta=0\)
C'est l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation :
\(\omega_0=\sqrt{\frac{mga}{I_{\Delta}}}\)
Remarque : dans le cas d'un pendule simple, il suffit d'écrire que \(I_{\Delta}=ma^2\).
Fondamental : Étude du pendule de torsion
Un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de torsion.
Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion \(\theta\) qu'on lui impose :
\(\Gamma=-C\theta\)
où \(C\) est la constante de torsion du fil.
Étude mécanique :
Le théorème du moment cinétique donne, en l'absence de frottements :
\(I_{\Delta}\ddot \theta=-C\theta\)
On obtient un oscillateur harmonique de pulsation :
\(\omega_0=\sqrt{\frac{C}{I_{\Delta}}}\)
Étude énergétique :
La puissance du couple de torsion est :
\(P=\Gamma \dot \theta=-C\theta\dot\theta=-\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}C\theta^2)\)
On peut ainsi définir l'énergie potentielle de torsion du fil :
\(E_p=\frac{1}{2}C\theta^2\)
qui est l'analogue de l'énergie potentielle d'un oscillateur harmonique en translation, \(E_p=\frac{1}{2}kx^2\), où \(x\) représente l'élongation du ressort par exemple.