Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe
Fondamental : Théorème du moment cinétique en un point fixe
On considère un point fixe A du référentiel galiléen (R).
Alors :
\(\frac{{d{{\vec L}_A}}}{{dt}} = {\vec M_{A,{{\vec f}_{ext}}}}\)
La dérivée du moment cinétique du système par rapport au point fixe A est égal au seul moment en A des forces extérieures au système (celui des forces intérieures est nul).
Fondamental : Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe
On considère un axe \(\Delta\) passant par A, de vecteur unitaire \(u_{\Delta}\), fixe dans (R).
En projetant le théorème du moment cinétique sur cet axe, on obtient le théorème du moment cinétique par rapport l'axe \(\Delta\) :
\(\frac{{d{L_\Delta }}}{{dt}} = {\vec M_{A,{{\vec f}_{ext}}}}.{\vec u_\Delta } = {M_{\Delta ,ext}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;({L_\Delta } = {\vec L_A}.{\vec u_\Delta })\)
En utilisant :
\({L_\Delta } = {I_\Delta }\Omega\)
où \(\Omega\) désigne la vitesse angulaire du solide, portée par l'axe \(\Delta\).
Finalement (théorème « scalaire » du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l'axe de rotation \(\Delta\)) :
\({I_\Delta }\frac{{d\omega }}{{dt}} = {L_\Delta }\;\;\;\;\;\;\;\;\;({L_\Delta } = {\vec L_A}.{\vec u_\Delta })\)
Exemple : Une vidéo d'Alain Le Rille
Exemple : La boite qui remonte les pentes
Fondamental : Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen
Il faut prendre en compte les forces d'inertie :
\(\frac{d}{{dt}}(m\vec v(G)) = \frac{{d\vec P}}{{dt}} = m\vec a(G) = {\vec F_{ext}} + {\vec F_{ie}} + {\vec F_{ic}}\)
Et, en un point fixe du référentiel mobile :
\(\frac{{d{{\vec L}_A}}}{{dt}} = {\vec M_{A,{{\vec f}_{ext}}}} + {\vec M_{A,{{\vec f}_{ie}}}} + {\vec M_{A,{{\vec f}_{ic}}}}\)