Les bâtisseurs de cathédrales
(20 minutes de préparation)
Pour hisser les blocs de pierre , les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une roue en bois de rayon R (qu'on prendra égal à 1,25 m) qui était entraînée par des ouvriers marchant à l'intérieur.
La rotation de la roue entraîne celle de l'essieu de rayon r (de l'ordre de 15 cm) sur s'enroule le cordage de fixation du bloc de pierre.
Un ouvrier a une masse m = 75 kg et le bloc a une masse M = 500 kg.
On suppose que le régime permanent d'élévation de la charge à vitesse constante est atteint.
Question
Quel est le nombre d'ouvriers à l'intérieur de la grande roue ?
Le coefficient de frottement entre les pieds des ouvriers et le bois de la roue est f = 0,4.
Solution
On applique le théorème du moment cinétique à tout le système, hormis les n ouvriers :
En régime stationnaire, indépendant du temps :
\(Mgr-TR=Mgr-fnmgR=0\)
D'où :
\(n=\frac {Mr}{mRf}=2\)
Question
Si un ouvrier développe une puissance de 200 W, quelle sera la vitesse de montée du bloc ?
Solution
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à tout le système donne, en l’absence de glissement :
\(d E_c = 0 = \delta W_{ouvrier}-M g d h\)
D'où :
\(\delta W_{ouvrier}=Mgdh\)
La puissance fournie par les ouvriers est alors :
\(P=\frac {\delta W_{ouvrier}}{dt}=Mg\frac {dh}{dt}\)
D'où :
\(\frac {dh}{dt}=8\;cm.s^{-1}\)