Énergie électrostatique d'un électron
Consacrer 15 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Si vous avez des questions complémentaires, n'hésitez pas à les poser sur le forum.
Un électron est considéré comme une sphère de rayon a dans laquelle la charge est uniformément répartie.
On suppose en outre que toute l'énergie est sous forme électrostatique.
On donne e = 1,6.10- 19 C et m = 9,1.10-31 kg.
Question
Calculer l'énergie électrostatique de l'électron ; en déduire un ordre de grandeur de a.
Indice
Imaginer que l'électron ressemble à un oignon et qu'il a été construit en apportant de l'infini des fines lamelles sphériques concentriques ...
Solution
On établit l'expression de l'énergie électrostatique d'une sphère de rayon a uniformément chargée en volume, de charge totale Q et de densité volumique de charges ρ.
On construit de manière réversible la sphère en amenant de l'infini la charge \(dq=4\pi r^2 \rho dr\), qui passe donc du potentiel nul au potentiel de la « sphère » en construction , de rayon r :
\(V(r) = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{Q(r)}}{r} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{\frac{4}{3}\pi {r^3}\rho }}{r} = \frac{{\rho {r^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}\)
Le travail élémentaire qu'il faut fournir est alors :
\(\delta W = - \delta {W_{elect}} = d{E_P} = dq\left[ {V(r) - V(\infty )} \right] = dqV(r) = 4\pi {r^2}\rho dr\;\frac{{\rho {r^2}}}{{3{\varepsilon _0}}} = \frac{{4\pi {\rho ^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{r^4}dr\)
On en déduit :
\({E_{el}} = \int_{\;0}^{\;a} {} \frac{{4\pi {\rho ^2}}}{{3{\varepsilon _0}}}{r^4}dr = \frac{{4\pi {\rho ^2}}}{{15{\varepsilon _0}}}{a^5} = \frac{{3{q^2}}}{{20\pi {\varepsilon _0}}}\frac{1}{a}\)
Pour avoir l'ordre de grandeur de a, il suffit d'identifier l'énergie électrostatique ainsi calculée à l'énergie de masse donnée par la relativité :
\({E_{el}} = \frac{{3{q^2}}}{{20\pi {\varepsilon _0}}}\frac{1}{a} = m{c^2}\)
Remarque :
Par analogie, on en déduit l'énergie gravitationnelle d'une étoile (ou d'une planète) de masse M et de rayon a :
\({E_{grav}} = - \frac{3}{5}G{M^2}\frac{1}{a}\)