Pour une particule de charge q et placée dans un domaine de l'espace où règne un champ électrique \(\vec E\) qui dérive du potentiel :

\(\vec E = - \overrightarrow {grad\;} V\)

La charge est soumise à la force :

\(\vec f =q\vec E=- \overrightarrow {grad\;} qV\)

Par conséquent, l'énergie potentielle de la charge est :

\(E_p=qV\)

On établit l'expression de l'énergie électrostatique d'une sphère de rayon a uniformément chargée en volume, de charge totale Q et de densité volumique de charges \(\rho\).

On construit de manière réversible la sphère en amenant de l'infini la charge \(dq=4\pi r^2 \rho dr\), qui passe donc du potentiel nul au potentiel de la « sphère » en construction , de rayon r :

\(V(r) = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{Q(r)}}{r} = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho }}{r} = \frac{{\rho r^2 }}{{3\varepsilon _0 }}\)

Le travail élémentaire qu'il faut fournir est alors :

\(\delta W = - \delta W_{elect} = dE_P = dq\left[ {V(r) - V(\infty )} \right] = dqV(r) = 4\pi r^2 \rho dr\;\frac{{\rho r^2 }}{{3\varepsilon _0 }} = \frac{{4\pi \rho ^2 }}{{3\varepsilon _0 }}r^4 dr\)

On en déduit :

\(E_{el} = \int_{\;0}^{\;a} {} \frac{{4\pi \rho ^2 }}{{3\varepsilon _0 }}r^4 dr = \frac{{4\pi \rho ^2 }}{{15\varepsilon _0 }}a^5 = \frac{{3q^2 }}{{20\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{a}\)

Par analogie, on en déduit l'énergie gravitationnelle d'une étoile (ou d'une planète) de masse M et de rayon a :

\(E_{grav} = - \frac{3}{5}GM^2 \frac{1}{a}\)