Résistance électrique
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On considère une portion de conducteur ohmique de conductivité électrique \(\sigma\) remplissant le domaine défini par, en coordonnées cylindriques \((r,\theta,z)\) :
\(0 \le \theta \le \alpha \;\;;\;\;0 \le z \le h\;\;;\;\;a \le r \le b\)
On porte la face \(\theta=0\) au potentiel \(V_1\) et la face \(\theta=\alpha\) au potentiel \(V_2\).
On suppose que le potentiel ne dépend que de θ.
Question
Calculer la résistance électrique de cette portion de conducteur ohmique.
Indice
L'intensité, c'est le flux du vecteur \(\vec j\) et utiliser la loi d'Ohm locale.
Solution
Le champ électrique est :
\(\vec E = - \overrightarrow {grad} V(\theta ) = - \frac{1}{r}\frac{{dV}}{{d\theta }}{\vec u_\theta }\)
Et, d'après la loi d'Ohm locale :
\(\vec j = \sigma \vec E = - \sigma \frac{1}{r}\frac{{dV}}{{d\theta }}{\vec u_\theta }\)
L'intensité du courant vaut alors :
\(I = \iint_S \vec j . \vec n dS=\iint_S j(\theta) drdz = - \sigma \frac{{dV}}{{d\theta }}\int_0^h {dz} \int_a^b {\frac{{dr}}{r}} = - \sigma h\frac{{dV}}{{d\theta }}\ln \left( {\frac{b}{a}} \right)\)
Le conducteur constitue un tube de courant en régime stationnaire, I ne dépend pas de la section et par conséquent, I = cste.
Ainsi :
\(\frac{{dV}}{{d\theta }} = - \frac{I}{{\sigma h\ln \left( {\frac{b}{a}} \right)}}\;\;\;\;\;soit \;\;\;\;\;{V_2} - {V_1} = - \frac{I}{{\sigma h\ln \left( {\frac{b}{a}} \right)}}\alpha\)
On en déduit :
\(R = \frac{{{V_1} - {V_2}}}{I} = \frac{\alpha }{{\sigma h\ln \left( {\frac{b}{a}} \right)}}\)