Anneau chargé équivalent à un dipôle
(15 minutes de préparation)
Soit un anneau fin (A) de centre O et de rayon R, divisé en deux parties égales chargées uniformément +λ et -λ.
Question
En utilisant la notion de dipôle électrostatique, déterminer le potentiel V puis le champ électrostatique en un point M très éloigné de O (r = OM >> R).
Solution
On découpe le cercle en petits dipôles élémentaires délimités par l'angle dα. Le moment dipolaire élémentaire de ce dipôle est :
\(d\vec p = \lambda Rd\alpha (2R){\vec u_r} = 2\lambda {R^2}d\alpha {\vec u_r}\)
Par symétrie, le vecteur dipolaire résultant est selon (Oy).
Il vaut :
\(\vec p = 2\lambda {R^2}\int_0^\pi {\sin \alpha d\alpha } {\vec u_y} = 4\lambda {R^2}{\vec u_y}\)
Le potentiel créé par l'anneau est alors : (on considère un point M dans le plan Oyz et on note θ l'angle entre l'axe Oz et la droite OM) :
\(V(M) = \frac{{p\cos \theta }}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{1}{{{r^2}}}\)
Le champ électrique se calcule avec :
\(\vec E(M) = - \overrightarrow {grad} V(M)\)