On calcule le potentiel créé par le dipôle en un point M de l'espace.

Symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : on choisit \(M(r,\theta)\) dans le plan des deux charges.

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire : \(r>>a\) (on se place « loin » des charges, c'est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).

Le potentiel au point M est (principe de superposition) :

\(V(M) = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{q}{{{r_P}}} - \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{q}{{{r_N}}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}q\left( {\frac{1}{{{r_P}}} - \frac{1}{{{r_N}}}} \right)\)

(Avec : \({r_P} = PM\;et\;{r_N} = NM\; > > \;a\))

D'après la relation de Chasles :

\(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OP} = \vec r - a\;{\vec u_z}\)

En élevant au carré :

\(P{M^2} = {r^2} + {a^2} - 2\vec r.a\;{{\vec u}_z}\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;r_P^2 = {r^2} + {a^2} - 2ar\cos \theta\)

On calcule ensuite \(1/r_P\) :

\(\frac{1}{{{r_P}}} = \frac{1}{{\sqrt {{r^2} + {a^2} - 2ar\cos \theta } }} = {\left( {{r^2} + {a^2} - 2ar\cos \theta } \right)^{ - 1/2}}\)

On rappelle le développement limité (à l'ordre 1) de :

\({\left( {1 + x} \right)^{ - 1/2}} \approx 1 - \frac{1}{2}x\;\;\;\;\;(x < < 1)\)

On pose \(x=a/r\) (x<<1), alors :

\(\frac{1}{{{r_P}}} = \frac{1}{r}{\left( {1 + \frac{{{a^2}}}{{{r^2}}} - 2\frac{a}{r}\cos \theta } \right)^{ - 1/2}} \approx \frac{1}{r}\left( {1 + \frac{a}{r}\cos \theta } \right)\)

De la même manière (il suffit de remplacer \(\theta\) par \(\pi-\theta\) et donc \(cos\theta\) par \(-cos\theta\)) :

\(\frac{1}{{{r_N}}} = \frac{1}{r}\left( {1 - \frac{a}{r}\cos \theta } \right)\)

Ainsi :

\(\frac{1}{{{r_P}}} - \frac{1}{{{r_N}}} = 2\frac{a}{{{r^2}}}\cos \theta\)

D'où le potentiel :

\(V(M) = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{(2aq)}}{{{r^2}}}\cos \theta\)

On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :

\(\vec p = (2aq)\;{\vec u_z} = q\overrightarrow {NP}\)

Alors (décroissance du potentiel en \(1/r^2\)) :

\(V(M) = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{p}{{{r^2}}}\cos \theta\)

En notant \(\vec u_r = \vec r/r\) :

\(V(M) = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{\vec p.{{\vec u}_r}}}{{{r^2}}}\;\;\;\;\;({\vec u_z}.{\vec u_r} = \cos \theta )\)

La relation intrinsèque \(\vec E = - \overrightarrow {grad} \;V\) permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) :

\(\left\{ \begin{array}{l}{E_r}(r,\theta ) = - \frac{{\partial V}}{{\partial r}} \\{E_\theta }(r,\theta ) = - \frac{1}{r}\frac{{\partial V}}{{\partial \theta }} \\\end{array} \right.\)

Par conséquent :

\(\left\{ \begin{array}{l}{E_r} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{2p\cos \theta }}{{{r^3}}} \\{E_\theta } = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{p\sin \theta }}{{{r^3}}} \\\end{array} \right.\)

Ou encore :

\(\vec E = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{p}{{{r^3}}}\left( {2\cos \theta \;{{\vec u}_r} + \sin \theta \;{{\vec u}_\theta }} \right)\)

• Surfaces équipotentielles :

  L'équation de la surface équipotentielle (\(\Sigma_0\)) au potentiel \(V_0\) est :

  \(Pour\;M\; \in \;({\Sigma _0})\;\;:\;\;V(M) = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{p}{{{r^2}}}\cos \theta = {V_0}\)

  Soit l'équation en coordonnées polaires :

  \({r^2} = A\cos \theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;(A = cste)\)

  L'allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l'axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l'équipotentielle zéro.

  Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.

• Lignes de champs :

  Sur la ligne de champ passant par M :

  \(d\vec r \wedge \vec E = \vec 0\)

  \(\left\{ \begin{array}{l}d\vec r = dr\;{{\vec u}_r} + r\;d\theta \;{{\vec u}_\theta } \\\vec E = {E_r}\;{{\vec u}_r} + {E_\theta }\;{{\vec u}_\theta } \\\end{array} \right.\)

  D'où :

  \(dr\;{E_\theta } - r\;d\theta \;{E_r} = 0\)

  Soit :

  \(\frac{{dr}}{{{E_r}}} = \frac{{r\;d\theta }}{{{E_\theta }}}\)

En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :

\(\frac{{dr}}{{2\cos \theta }} = \frac{{r\;d\theta }}{{\sin \theta }}\)

On sépare les variables :

\(\frac{{dr}}{r} = 2\frac{{\;\cos \theta }}{{\sin \theta }}d\theta = 2\frac{{\;d(\sin \theta )}}{{\sin \theta }}\)

Soit :

\(d(\ln r) = d(\ln (\sin {\theta ^2}))\)

On note \(r=r_0\) pour \(\theta=\pi/2\), alors, en intégrant, on obtient l'équation en coordonnées polaires des lignes de champs (\(r_0\) est un paramètre) :

\(\ln \left( {\frac{r}{{{r_0}}}} \right) = \ln (\sin {\theta ^2})\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;r = {r_0}\sin {\theta ^2}\)

L'allure des lignes de champ est donnée sur la figure précédente.