Un MOOC pour la physique : mécanique du point

La théorie statique des marées est une théorie simplifiée du phénomène des marées, dans laquelle la Terre est supposée immobile dans le référentiel géocentrique (R_g) (on néglige ainsi la rotation propre de la Terre ) et recouverte uniformément d'une couche d'eau au repos dans ce même référentiel.

La condition d'équilibre relatif de cette couche d'eau dans (R_g), prenant en compte les influences de la Lune et du Soleil (on néglige les influences des autres astres), fait apparaître des forces gravitationnelles différentielles, appelées forces génératrices des marées et responsables de celles-ci.

Le référentiel géocentrique (R_g) possède, par rapport au référentiel de Kepler (R_K) supposé galiléen, un mouvement d'entraînement de translation quasi-circulaire ; il n'est donc pas galiléen et l'écriture des lois de Newton dans ce référentiel fait donc intervenir une force d'inertie d'entraînement.

La condition d'équilibre d'une particule d'eau (supposée quasi-ponctuelle) de masse m située en un point M s'écrit, dans le référentiel géocentrique :

\(\left( {{{\vec f}_{pression}} - G\frac{{m{M_T}}}{{T{M^3}}}\mathop {TM}\limits^ \to } \right) - G\frac{{m{M_L}}}{{L{M^3}}}\mathop {LM}\limits^ \to - G\frac{{m{M_S}}}{{S{M^3}}}\mathop {SM}\limits^ \to + {\vec f_{ie}} = \vec 0\)

• \(\vec f_{pression}\) désignent les forces de pression qui s'exercent sur la masse \(m\) ; \(M_T\), \(M_L\) et \(M_S\) sont les masses respectives de la Terre, de la Lune et du Soleil.

• \(\vec f_{ie}\), force d'inertie d'entraînement, est donnée par :

  \(f_{ie}=-m\vec a_e(M)\)

  où \(\vec a_e(M)\) est l'accélération d'entraînement, au point M, du référentiel (R_g) par rapport au référentiel (R_K).

  Le mouvement d'entraînement étant un mouvement de translation, \(\vec a_e(M)\) s 'identifie à l'accélération, par rapport à (R_K), d'un point quelconque de la Terre, par exemple le centre d'inertie T de celle-ci.

  Cette accélération se détermine en appliquant le théorème du centre d'inertie à la Terre dans (R_K) :

  \(\begin{array}{l}{M_T}{{\vec a}_e} = - G\frac{{{M_T}{M_L}}}{{L{T^3}}}\mathop {LT}\limits^ \to - G\frac{{{M_T}{M_S}}}{{S{T^3}}}\mathop {ST}\limits^ \to \\{{\vec a}_e} = - G\frac{{{M_L}}}{{L{T^3}}}\mathop {LT}\limits^ \to - G\frac{{{M_S}}}{{S{T^3}}}\mathop {ST}\limits^ \to \\\end{array}\)

La condition d'équilibre de la masse m d'eau devient alors :

\(\left( {{{\vec f}_{pression}} - G\frac{{m{M_T}}}{{T{M^3}}}\mathop {TM}\limits^ \to } \right)+\left( { - G\frac{{m{M_L}}}{{L{M^3}}}\mathop {LM}\limits^ \to + G\frac{{m{M_L}}}{{L{T^3}}}\mathop {LT}\limits^ \to } \right) + \left( { - G\frac{{m{M_S}}}{{S{M^3}}}\mathop {SM}\limits^ \to + G\frac{{m{M_S}}}{{S{T^3}}}\mathop {ST}\limits^ \to } \right) = \vec 0\)

On note \(\vec F_{m,L}\) la quantité :

\({\vec F_{m,L}} = - G\frac{{m{M_L}}}{{L{M^3}}}\mathop {LM}\limits^ \to + G\frac{{m{M_L}}}{{L{T^3}}}\mathop {LT}\limits^ \to = {\vec F_L}(M) - {\vec F_L}(T)\)

où \(\vec F_L(M)\) et \(\vec F_L(M)\) sont les forces gravitationnelles exercées par la Lune sur une même masse m située soit en M soit en T (voir figure suivante).

Cette force, qui s'interprète comme une force différentielle de gravitation, peut encore s'écrire sous la forme :

\({\vec F_{m,L}} = m{\vec C_L}(M)\)

où \(\vec C_L(M)\) désigne le champ des marées dû à la Lune au point M, différence des champs gravitationnels créés par la Lune aux points M et T.

La force différentielle est appelée force génératrice des marées (due à l'influence de la Lune).

La force différentielle \(\vec F_{m,S}\) due à l'influence du Soleil sera de même : (voir figure précédente)

\({\vec F_{m,S}} = - G\frac{{m{M_S}}}{{S{M^3}}}\mathop {SM}\limits^ \to + G\frac{{m{M_S}}}{{S{T^3}}}\mathop {ST}\limits^ \to = {\vec F_S}(M) - {\vec F_S}(T)\)

On ne considère dans ce paragraphe que l'influence d'un seul astre, la Lune par exemple.

La figure suivante précise les directions des forces génératrices \(\vec F_{m,L}\) de la marée en différents points du globe terrestre.

On peut évaluer simplement la force génératrice aux points particuliers A et A', situés sur l'axe Terre–Lune.

En effet, au point A :

\({\vec F_{m,L}}(A) = Gm{M_L}\left( { - \frac{1}{{A{L^2}}} + \frac{1}{{T{L^2}}}} \right){\vec u_x}\)

où \(\vec u_x\) est le vecteur unitaire de l'axe (TL), dirigé de la Lune vers la Terre.

Soit R_T le rayon terrestre et \(D_L=TL\) la distance Terre–Lune, alors, comme \(R_T<<D_L\) :

\(\frac{1}{{A{L^2}}} = \frac{1}{{{{({D_L} - {R_T})}^2}}} \approx \frac{1}{{D_L^2}}\left( {1 + 2\frac{{{R_T}}}{{{D_L}}}} \right)\)

Et, par conséquent, les expressions de la force puis du champ des marées en A deviennent :

\({\vec F_{m,L}}(A) = - 2\frac{{Gm{M_L}}}{{D_L^2}}\frac{{{R_T}}}{{{D_L}}}{\vec u_x} = m{\vec C_L}(A)\)

Avec :

\({\vec C_L}(A) = - 2\frac{{G{M_L}}}{{D_L^2}}\frac{{{R_T}}}{{{D_L}}}{\vec u_x}\)

Un calcul similaire conduit, au point A', à une force opposée :

\({\vec F_{m,L}}(A') = - {\vec F_{m,L}}(A)\)

L'effet de la marée est d'étirer principalement la surface des océans dans la direction de l'axe Terre–Lune et de donner ainsi au « bourrelet océanique » une forme à l'équilibre de « ballon de rugby ».

Le champ des marées, homogène à une accélération, peut s'exprimer en fonction du champ de pesanteur terrestre au sol g₀, qui s'écrit, en négligeant la rotation propre de la Terre :

\({g_0} = G{M_T}/R_T^2\)

En particulier, aux points A et A', la norme du champ des marées est maximale et vaut ainsi :

\({C_{L,\max }} = {C_L}(A) = {C_L}(A') = 2\frac{{{M_L}}}{{{M_T}}}{\left( {\frac{{{R_T}}}{{{D_L}}}} \right)^3}{g_0}\)

Numériquement, avec \(R_T=6\;400\;km\), \(D_L=380\;000\;km\) et \(M_T/M_L=82\), on obtient :

\({C_L}(A) = {C_L}(A') = {1,2.10^{ - 7}}{g_0}\)

Seules des quantités gigantesques d'eau peuvent mettre en évidence l'existence de ce champ, beaucoup plus faible que g₀.

Remarque :

Lorsque seule l'influence du Soleil est prise en compte, la valeur maximale du champ des marées est alors donnée par : (on donne \(M_S/M_T=3,30.10^5\))

\({C_{S,\max }} = 2\frac{{G{M_S}}}{{D_S^2}}\frac{{{R_T}}}{{{D_S}}} = 2\frac{{{M_S}}}{{{M_T}}}{\left( {\frac{{{R_T}}}{{{D_S}}}} \right)^3}{g_0}\)

où \(D_S=150.10^6\;km\) est la distance Terre-Soleil.

Numériquement, \({C_{S,\max }} = {5,1.10^{ - 8}}{g_0}\) et \({C_{L,\max }}/{C_{S,\max }} \approx 2,3\).

L'influence de la Lune (moins massive que le Soleil, mais plus proche de la Terre) sur les marées océaniques est plus importante que celle du Soleil.