Analyse de Fourier

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(15 minutes de préparation)

On donne le développement en séries de Fourier de la tension représentée sur la figure ci-dessous, de pulsation \(\omega=2\pi /T\) :

\(u_e (t) = - \frac{{8A}}{{\pi ^2 }}\left[ {\cos \omega t + \frac{1}{{3^2 }}\cos (3\omega t) + ... + \frac{1}{{(2k + 1)^2 }}\cos ((2k + 1)\omega t) + ...} \right]\)

On donne :

\(T=3,77\;ms\) et \(A=10,0\;V\).

La tension \(u_e\) est injectée à l'entrée du filtre RLC ci-dessous.

Question

  • Calculer la fonction de transfert \(\underline H(j\omega)\) du filtre.

  • Quelle est sa pulsation de résonance \(\omega_0\) ? Que vaut son facteur de qualité \(Q\) ?

  • Comparer numériquement \(\omega_0\) à \(\omega\).

Indice

  • Utiliser la règle du diviseur de tension.

  • Quelle est la forme normalisée de ce filtre ?

Question

Préciser \(u_s(t)\) sous la forme d'une série de Fourier où l’amplitude complexe du terme de rang \(k\) sera donnée en fonction de \(A\), du module et de l'argument de la fonction \(\underline H\).

Indice

  • Le filtre est linéaire : la réponse est égale à la somme des réponses du fondamental et des harmoniques du signal triangulaire.

Question

  • Quel est le terme prépondérant dans cette série ?

  • Représenter sur le même schéma \(u_e(t)\) et \(u_s(t)\).

  • Quelle application peut-on imaginer à ce dispositif ?

Indice

  • Les harmoniques d'un signal triangulaire diminuent comme \(1/n^2\)