(Voir également la fiche expérimentale consacrée aux filtres du 1er ordre)

On étudie un circuit série RC et on mesure la tension de sortie \(\underline v_s\) en sortie ouverte.

Étude qualitative de la nature du flitre :

• A basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (son impédance \(1/C\omega\) est infinie).

  Le courant dans le circuit est nul. Ainsi, la tension aux bornes de R est nulle également et par conséquent \(\underline v_s=\underline v_e\).

• A haute fréquence, le condensateur est équivalent à un fil de résistance nulle. Ainsi, \(\underline v_s=0\).

Le filtre étudié ici est donc un filtre passe-bas.

En sortie ouverte, la règle du diviseur de tension donne :

\({\underline v _s} = \frac{{\frac{1}{{jC\omega }}}}{{R + \frac{1}{{jC\omega }}}}{\underline v _e}\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\underline H (j\omega ) = \frac{{{{\underline v }_s}}}{{{{\underline v }_e}}} = \frac{1}{{1 + jRC\omega }} = \frac{1}{{1 + j\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}\)

Avec :

\(\omega_0=\frac{1}{RC}\)

la pulsation propre du filtre, qui est aussi la pulsation de coupure à \(-3\;dB\), c'est-à-dire la pulsation pour laquelle le gain réel vaut \(G_{max}/\sqrt{2}\), ou, ce qui est équivalent, \(G_{dB}(\omega_0)=G_{dB,max}-3\;dB\).

C'est la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 1^er ordre.

La figure précédente donne le diagramme de Bode en amplitude de ce filtre passe-bas du 1^er ordre.

La figure suivante donne le diagramme de Bode en phase.

Autres filtres du 1^er ordre :

• Circuit série RC, tension de sortie aux bornes de R :

  C'est un filtre passe-haut.

  \(\underline H (j\omega ) = \frac{{{{\underline v }_s}}}{{{{\underline v }_e}}} = \frac{{j\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}{{1 + j\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}} = \frac{1}{{1 - j\frac{{{\omega _0}}}{\omega }}}\)

  Avec \(\omega_0=1/RC\).

• Circuit série RL, tension de sortie aux bornes de L :

  C'est un filtre passe-haut.

  \(\underline H (j\omega ) = \frac{{{{\underline v }_s}}}{{{{\underline v }_e}}} = \frac{{j\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}{{1 + j\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}} = \frac{1}{{1 - j\frac{{{\omega _0}}}{\omega }}}\)

  Avec :

  \(\omega_0=\frac{R}{L}\)

• Circuit série RL, tension de sortie aux bornes de R :

  C'est un filtre passe-bas.

  \(\underline H (j\omega ) = \frac{{{{\underline v }_s}}}{{{{\underline v }_e}}} = \frac{1}{{1 + j\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}\)

  Avec :

  \(\omega_0=\frac{R}{L}\)

Les figures précédentes donnent le diagramme de Bode en amplitude et en phase d'un filtre passe-haut du 1^er ordre.

On représente un circuit RLC série sous la forme d'un quadripôle (figure suivante).

Le tableau suivant donne la nature du filtre obtenu selon le dipôle de sortie.

La règle du diviseur de tension donne :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{\frac{1}{{jC\omega }}}}{{R + jL\omega \; + \frac{1}{{jC\omega }}}} = \frac{1}{{1 - LC{\omega ^2} + jRC\omega \;}}\)

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{K}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}\)

Par identification :

\(\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;jRC\omega = 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;K = 1\)

D'où :

\({\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\sigma = \frac{1}{2}RC{\omega _0} = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{C}{L}} \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;K = 1\)

Ainsi :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{1}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}G(\omega ) = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}} \right)}^2} + {{\left( {2\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} }} \\\tan \varphi = - \frac{{2\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}}}\;\;\;(\sin \varphi < 0,\;\varphi \in \left[ { - \pi ,0} \right]) \\\end{array} \right.\)

En se référant à l'étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation), on obtient :

Il y a "résonance de tension" aux bornes de C (« Résonance de charge »), c'est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation \(\omega_r\) du GBF telle que :

\(\;\omega _r^{} = \omega _0^{}\sqrt {1 - 2{\sigma ^2}} \;\;\;\;\;\;\;\left( {avec\;\sigma < \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Et la tension maximale aux bornes de C à la « résonance de charge » est :

\({V_{s,m}}({\omega _r}) = \frac{1}{{2\sigma \sqrt {1 - {\sigma ^2}} }}{V_{e,m}}\)

Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d'amortissement \(\sigma\) (\(Q=1/2\sigma\)) :

\(\;\omega _r^{} = \omega _0^{}\sqrt {1 - \frac{1}{{2{Q^2}}}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Et :

\({V_{s,m}}({\omega _r}) = \frac{Q}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{4{Q^2}}}} }}{V_{e,m}}\)

Remarque :

Pour de faibles amortissements (\(\sigma\) «faible» et \(Q\) «grand»), alors :

\(\;\omega _r^{} \approx \omega _0^{}\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;{V_{s,m}}({\omega _r}) \approx Q{V_{e,m}}\)

Ainsi, si \(Q=10\), l'amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l'excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

Les figures suivantes donnent le diagramme de Bode en gain et en phase d'un filtre passe-bas du 2^nd ordre.

La règle du diviseur de tension donne :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{R}{{R + jL\omega \; + \frac{1}{{jC\omega }}}} = \frac{1}{{1 + \frac{j}{R}\left( {L\omega \; - \frac{1}{{C\omega }}} \right)\;}}\)

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}K = \frac{1}{{1 + \frac{j}{{2\sigma }}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)}}K\)

Par identification :

\(\frac{L}{R} = \frac{1}{{2\sigma {\omega _0}}}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\frac{1}{{RC}} = \frac{{{\omega _0}}}{{2\sigma }}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;K = 1\)

D'où (rapport membres à membres) :

\(\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\sigma = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{C}{L}} \;\;\;\;;\;\;\;\;\;K = 1\)

Ainsi :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{j}{{2\sigma }}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)}}\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}G(\omega ) = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{4{\sigma ^2}}}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)}^2}} }} \\\tan \varphi = - \frac{1}{{2\sigma }}\;\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)\;\;(\cos \varphi > 0,\;\varphi \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]) \\\end{array} \right.\)

Résonance de tension aux bornes de R (« résonance d'intensité ») :

Il y a "résonance de tension" aux bornes de R (« résonance d'intensité »), correspondant à une tension aux bornes de R maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre \(\omega_0\) du circuit (RLC) série :

\(\;{\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\)

Et la tension maximale aux bornes de R à la « résonance d'intensité » est :

\({V_{s,m}} = {V_{e,m}}\)

La bande passante vaut :

\(\Delta \omega = {\omega _{{c_2}}} - {\omega _{{c_1}}} = \frac{R}{L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta \omega = 2\sigma {\omega _0} = \frac{{{\omega _0}}}{Q}\)

Les figures suivantes donnent le diagramme de Bode en gain et en phase d'un filtre passe-bande du 2^nd ordre.

La règle du diviseur de tension donne :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{jL\omega }}{{R + \;jL\omega + \frac{1}{{jC\omega }}}} = \frac{{ - LC{\omega ^2}}}{{1 - LC{\omega ^2} + jRC\omega \;}}\)

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{\left( { - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}} \right)}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}K\)

Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

\({\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\sigma = \frac{1}{2}RC{\omega _0} = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{C}{L}} \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;K = 1\)

Ainsi :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{\left( { - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}} \right)}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}G(\omega ) = \frac{{\left( {\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}} \right)}^2} + 4{\sigma ^2}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} }} \\{\varphi _{passe - haut}} = {\varphi _{passe - bas}} + \pi \\\end{array} \right.\)

Les figures suivantes donnent le diagramme de Bode en gain et en phase d'un filtre passe-haut du 2^nd ordre.

La règle du diviseur de tension donne :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{\frac{1}{{jC\omega }} + jL\omega \;}}{{R + jL\omega \; + \frac{1}{{jC\omega }}}} = \frac{{1 - LC{\omega ^2}}}{{1 - LC{\omega ^2} + jRC\omega \;}}\)

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}K\)

Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

\({\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\sigma = \frac{1}{2}RC{\omega _0} = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{C}{L}} \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;K = 1\)

Ainsi :

\(\underline H (j\omega ) = \frac{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}}}}{{1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + 2j\sigma \frac{\omega }{{{\omega _0}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{2j\sigma }}{{\left( {\frac{{{\omega _0}}}{\omega } - \frac{\omega }{\omega }} \right)}}}}\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}G(\omega ) = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{4{\sigma ^2}}}{{{{\left( {\frac{{{\omega _0}}}{\omega } - \frac{\omega }{\omega }} \right)}^2}}}} }} \\{\varphi _{rejecteur}} = {\varphi _{passe - bas}} \pm \pi \\\end{array} \right.\)

Les figures suivantes donnent le diagramme de Bode en gain et en phase d'un filtre réjecteur du 2^nd ordre.