Le théorème de Bernoulli et ses applications ("Classe inversée", PC*)

Relation de Bernoulli

FondamentalCas d'un écoulement parfait, stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogène

La démonstration proposée dans cette fiche de cours est basée sur l'intégration de l'équation d'Euler.

C'est une méthode plus technique que celle présentée dans la vidéo "La physique animée".

On suppose dans la suite que la seule force volumique (autre que les forces de pression) est le poids.

L'équation d'Euler devient :

En notant : (l'axe (Oz) est orienté vers le haut)

Alors :

D'où :

Un champ scalaire dont le gradient est nul est indépendant du point M ; c'est une fonction du temps uniquement f(t).

Comme l'écoulement est stationnaire, cette fonction est constante :

C'est le théorème de Bernoulli, qui affirme que la quantité reste en tout point du fluide égale à une même constante.

Remarque

On remarque que  et désignent les énergies volumiques cinétique et potentielle (de pesanteur), homogènes à une pression.

Remarque

Dans le cas particulier où , on retrouve la relation fondamentale de l'hydrostatique des fluides :

AttentionRelation de Bernoulli pour un écoulement parfait, stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogène

La constante est la même pour tous les points du fluide.

FondamentalCas d'un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène

On renonce à l'hypothèse « écoulement irrotationnel ». Alors :

Théorème de Bernoulli sur une ligne de courant

Afin d'éliminer le terme en rotationnel, on multiplie scalairement par et on intègre le long d'une ligne de courant entre deux points A et B :

En tout point, est parallèle au champ des vitesses : le terme est donc nul.

Ainsi :

Soit :

Ainsi, l'abandon de l'hypothèse « écoulement irrotationnel » restreint le théorème de Bernoulli aux points A et B d'une même ligne de courant.

AttentionRelation de Bernoulli pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène

L'abandon de l'hypothèse « écoulement irrotationnel » restreint le théorème de Bernoulli aux points A et B d'une même ligne de courant :

FondamentalCas d'un écoulement parfait, non stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogène

L'équation d'Euler devient :

Soit :

Comme , on peut définir un potentiel des vitesses tel que :

Alors, avec :

Il vient :

Soit une généralisation du théorème de Bernoulli dans le cas non stationnaire :

est une fonction du temps uniquement.

AttentionRelation de Bernoulli pour un écoulement parfait, non stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogène

est une fonction du temps uniquement et est le potentiel des vitesses défini par :

AttentionJet homocinétique à l'air libre

On considère l'écoulement stationnaire d'un fluide incompressible sous forme :

  • D'un jet libre, c'est-à-dire sans aucun contact avec une surface rigide ou un autre fluide

  • De vitesse constante

Ce jet est dit homocinétique.

Jet homocinétique

On suppose que les seules forces intervenant sont les forces de pression ; la relation de Bernoulli s'écrit, dans tout le jet :

La vitesse étant la même en tout point du jet, il en est de même de la pression.

Aux bords du jet, au contact de l'atmosphère, la pression vaut . C'est donc la pression en tout point du jet.

Dans un jet homocinétique à l'air libre, la pression est uniforme et égale à celle existant dans le milieu extérieur.

On admettra ce résultat pour tout jet à l'air libre.

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