Le théorème de Bernoulli et ses applications ("Classe inversée", PC*)

Questionnaire

Répondre à ce questionnaire juste après avoir visionné et étudié la vidéo "La physique animée".

Question

Citer quelques scientifiques connus pour leurs travaux en mécanique des fluides.

Solution

Archimède au IIIème siècle av. J.-C, Léonard de Vinci au XVème siècle, Pascal et Torricelli au XVIIème siècle, Bernoulli, Pitot et Euler au 18è siècle, Navier, Poiseuille, Stokes et Reynolds au 19è, Couette, Prandtl ou encore Von Karman au 20ème siècle.

Question

Quels étaient les principaux centres d'intérêt de Daniel Bernoulli ?

Solution

Médecin, physicien et mathématicien, il s'intéresse à la fois aux sciences mathématiques et aux sciences expérimentales et enseigne les mathématiques, l'anatomie, la botanique et la physique.

Question

Donner les définitions du débit volumique et du débit massique d'un fluide en écoulement. Quelle est la relation entre les deux ?

Solution

  • Débit volumique :

    On appelle débit volumique à travers une surface (S) orientée, le volume de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire.

    Ce débit vaut :

  • Débit massique :

    Le débit massique correspond à la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire :

    où est le vecteur densité de courant ou vecteur densité de flux de masse de l'écoulement.

  • Si le fluide est incompressible et homogène, donc si la masse volumique est constante et indépendante du point, alors :

    On peut remarquer que ces débits sont les équivalents de l'intensité électrique, du flux thermique et du débit de particules (vu en diffusion).

Question

  • Écrire l'équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen.

  • Quelle forme prend cette équation dans un référentiel non galiléen ?

Solution

  • Équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen :

    Ou encore :

  • Dans un référentiel non galiléen :

    Il faut prendre en compte les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis :

    où est le vecteur rotation du référentiel non galiléen (par rapport à un référentiel galiléen de référence) et l'accélération de l'origine du référentiel non galiléen par rapport au référentiel galiléen de référence.

Question

  • Donner la relation de Bernoulli sur une ligne de courant dans un écoulement parfait, homogène, stationnaire et incompressible.

  • Donner la relation de Bernoulli au sein d'un écoulement parfait, homogène, stationnaire, incompressible et irrotationnel.

Solution

  • Sur une ligne de courant dans un écoulement parfait, homogène, stationnaire et incompressible :

    Entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

  • Au sein d'un écoulement parfait, homogène, stationnaire, incompressible et irrotationnel :

Question

Énoncer une généralisation du théorème de Bernoulli valable, par exemple, dans le cas du jet d'eau de Genève.

Solution

La conservation de l'énergie donne, où désigne la puissance de la pompe :

On en déduit :

Question

De l'air (considéré comme un fluide parfait incompressible) est soufflé à travers une conduite dont la section change de à .

Un manomètre en U rempli de liquide a une branche connectée à la section et l'autre branche à la section .

En considérant un rapport et une vitesse au niveau de la section , calculer la différence de hauteur du liquide entre les deux branches du manomètre.

La masse volumique de l'air est et celle du liquide dans le manomètre .

Question

Vidange d'un récipient : donner la formule de Torricelli. Quand s'applique-t-elle ?

Solution

La formule de Torricelli est :

est la vitesse du fluide en sortie du trou et la hauteur de liquide au dessus du trou.

Cette formule s'applique rigoureusement quand la hauteur est constante. Elle s'applique également dans l'ARQS ( varie lentement avec le temps).

Question

Expliquer l'effet Venturi ; donner un ordre de grandeur de la dépression qu'on peut obtenir entre deux immeubles.

Question

Pouvez-vous expliquer l'existence de la force de portance sur un avion ? Quelle est l'ordre de grandeur de cette force dans le cas d'un Airbus A 380 ?

Question

Que signifie Mach 0,7 ? Proposer une réécriture du théorème de Bernoulli dans le cas d'un écoulement compressible.

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