Mouvement d'un cerceau
(15 minutes de préparation)
Un cerceau de masse M et de rayon R est lancé avec les conditions initiales suivantes :
\(\vec v_C (0) = v_0 \vec u_x\), avec v0 > 0 et \(\vec \omega (0) = - \omega _0 \vec u_y \;\), avec ω0 > 0.
Il reste en contact avec le plan horizontal ; ce contact est caractérisé par un coefficient de frottement de glissement f.
Question
Déterminer \(\vec v(t)\) et \(\vec \omega (t)\) pour la 1ère phase du mouvement. A quel instant cette phase s'achève-t-elle ?
Indice
Tout le monde a essayé un jour de faire revenir un cerveau vers soi après l'avoir lancé ...
Que vaut la vitesse de glissement à \(t=0\) ?
Solution
Le mouvement du cerceau est donné par la vitesse \(\vec v_c = v(t) \vec u_x\) de son centre C et son vecteur rotation \(\vec \omega = \omega (t) \vec u_y\).
La vitesse de glissement par rapport au sol est :
\({\vec v_g} = (v - R\omega ){\vec u_x}\)
A \(t=0\), \({\vec v_g} = ({v_0} + R{\omega _0}){\vec u_x}\), est non nulle : la 1ère phase est une phase avec glissement dans le sens des x positifs.
Les forces s'exerçant sur le cerceau sont : le poids et la réaction du support.
Le théorème de la résultante cinétique donne :
\(M\frac{{dv}}{{dt}} = T\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - Mg + N = 0\)
Le théorème du moment cinétique en C donne :
\(M{R^2}\frac{{d\omega }}{{dt}} = - RT\)
De plus, durant la 1ère phase :
\(T=-fN\)
Il vient :
\(\frac{{dv}}{{dt}} = - fg\;\;\;soit\;\;\;v(t) = {v_0} - fgt\;\;et\;\;\frac{{d\omega }}{{dt}} = \frac{{fg}}{R}\;\;\;soit\;\;\;\omega (t) = - {\omega _0} + \frac{{fg}}{R}t\)
La vitesse de glissement à l'instant t est alors :
\({v_g}(t) = v(t) - R\omega (t) = {v_0} + R{\omega _0} - 2fgt\)
Elle s'annule à l'instant :
\({t_0} = \frac{{{v_0} + R{\omega _0}}}{{2fg}}\)
la 1ère phase s'achève à cet instant.
Question
À quelle condition le cerceau revient-il en arrière ?
Solution
La 2ème phase est une phase de roulement sans glissement. L'équation \(T=-fN\) n'est plus valable durant cette phase et doit être remplacée par :
\({v_g}(t) = v(t) - R\omega (t) = 0\)
Les autres équations restant valables. On en déduit :
\(\frac{{dv}}{{dt}} = 0\;\;\;soit\;\;\;v(t) = v({t_0}) = \frac{{{v_0} - R{\omega _0}}}{2}\;\;\;\;et\;\;\;\;\frac{{d\omega }}{{dt}} = 0\)
Soit :
\(\omega (t) = \omega ({t_0}) = \frac{{ - {\omega _0} + \frac{{{v_0}}}{R}}}{2}\)
Le cerceau revient en arrière si \(v(t_0)<0\), soit :
\(R{\omega _0} > {v_0}\)