De l'eau chaude sous la douche
(15 minutes de préparation)
De l'eau s'écoule dans un tuyau en cuivre de rayon intérieur \(r_1=5\;mm\) et de rayon extérieur \(r_2=\;5,5mm\) avec un débit volumique \(D_v=0,1\;L.s^{-1}\).
La conductivité thermique du cuivre est \(\lambda=390\;W.m^{-1}.K^{-1}\).
Le tuyau est en contact avec l'air de la salle de bains qui est à la température constante \(\theta_e=20°C\).
La capacité thermique de l'eau est \(c=4,18\;kJ.kg^{-1}.K^{-1}\) et la masse volumique de l'eau est notée \(\rho\).
Le coefficient de convection entre l'air et le cuivre est \(h=20\;W.m^{-2}.K^{-1}\) et celui entre le cuivre et l'eau est \(h'=200\;W.m^{-2}.K^{-1}\).
On se place en régime stationnaire.
Question
Montrer que l'on a l'équation :
\(D_v\rho c\frac{dT}{dz}=\varphi\)
Où \(\varphi\) est tel que la puissance transférée par l'eau de façon radiale s'exprime pour une longueur de tuyau comprise entre \(z\) et \(z+dz\) par \(\varphi dz\).
Question
On note \(\theta\) la température de l'eau le long du tuyau supposé rectiligne.
En \(z=0\), cette température est \(\theta_0=55°C\).
Déterminer la solution de l'équation différentielle précédente \(\theta (z)\) en faisant apparaître une longueur caractéristique \(\lambda_c\) qu'on exprimera en fonction des données.
Question
Sachant que le tuyau possède au total une longueur \(L=8\;m\) depuis le chauffe-eau jusque dans la salle de bains à l'extrémité du tuyau de douche, que pensez-vous de la température de l'eau sous la douche ?