Ailette de refroidissement
(15 minutes de préparation)
On considère un corps solide (B) (par exemple, le boîtier d'un transistor de puissance) qui est à la température T0 supérieure à la température Te de l'air ambiant.
On place, pour refroidir le corps (B), une ailette de refroidissement constituée d'un cylindre de longueur L et de section \(S=\pi a^2\).
On se place en régime stationnaire.
On supposera que la température du barreau ne dépend que de la variable x comptée dans le sens de sa longueur, soit \(T(x)\).
L'ailette n'est pas calorifugée et elle subit des pertes sur sa surface latérale donnée par la loi de Newton :
\(\delta Q=h(T(x)-T_e)dt\)
\(\delta Q\) représente la perte d'énergie par unité de surface latérale d'ailette située à l'abscisse x.
On note λ la conductivité thermique de l'ailette.
On suppose que l'ailette a une longueur infinie.
En vidéo, un cours de l’École Centrale de Paris sur une ailette de refroidissement
Question
Déterminer la température T(x) au sein de l'ailette.
Indice
Appliquer le 1er principe à un élément d'ailette de longueur dx, en prenant en compte la conduction mais aussi la convection sur la surface latérale.
Solution
On applique le premier principe de la thermodynamique a une longueur dx d'ailette :
\(j_{th}(x)\pi a^2dt-j_{th}(x+dx)\pi a^2dt-h(T(x)-t_e)2\pi adxdt=0\)
Soit :
\(-\frac {dj_{th}(x)}{dx}a-2h(T(x)-T_e)=0\)
En utilisant la loi de Fourier :
\(\frac{{d^2 T(x)}}{{dx^2 }} - \frac{{2h}}{{\lambda a}}T(x) = \frac{{2h}}{{\lambda a}}T_e\)
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
\(T(x) = Ae^{\frac{x}{D}} + Be^{ - \frac{x}{D}} + T_e \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(Avec\;:\;D = \sqrt {\frac{{\lambda a}}{{2h}}} )\)
L'ailette étant de longueur infinie, \(A=0\) :
\(T(x) = Be^{ - \frac{x}{D}} + T_e\)
La condition au limite en x = 0 permet de calculer B :
\(T(x) = (T_0 - T_e )e^{ - \frac{x}{D}} + T_e\)
On constate que la température de l'ailette tend vers celle du milieu environnant lorsque la distance x à l'origine est >> que la distance caractéristique D.
Question
Calculer de deux manières différentes la puissance PF fournie par le boîtier au barreau.
Solution
Intérêt de l'ailette de refroidissement : finalement, on peut s'interroger sur la valeur du flux thermique évacué par l'ailette de refroidissement vers l'atmosphère.
On détermine ce flux (ou cette puissance) à l'aide de la loi de Fourier en x = 0.
En effet, en régime permanent, ces deux flux thermiques sont identiques puisque l'ailette cède à l'air ambiant tout ce qu'elle reçoit.
Ainsi, ce flux vaut :
\(\Phi _c = - \pi a^2 \lambda \left( {\frac{{dT(x)}}{{dx}}} \right)_{x = 0} = \frac{\lambda }{D}\pi a^2 (T_0 - T_e )\)
On aurait obtenu le même résultat en intégrant sur toute la surface latérale de la barre le flux conducto-convectif :
\(\Phi _c = \int_0^\infty {\;h(T(x) - T_e )2\pi a\;dx} = 2\pi ah\int_0^\infty {\;(T_0 - T_e )e^{ - \frac{x}{D}} \;dx} \;\)
Soit :
\(\Phi _c = 2\pi ahD(T_0 - T_e ) = \frac{{\lambda a}}{{D^2 }}\pi aD(T_0 - T_e ) = \frac{\lambda }{D}\pi a^2 (T_0 - T_e )\)
On retrouve bien la même expression de la puissance.
En l'absence d'ailette, le flux aurait été :
\(\Phi _{c,0} = h\pi a^2 (T_0 - T_e )\)
Le rapport de ces deux flux vaut :
\(\frac{{\Phi _c }}{{\Phi _{c,0} }} = \frac{\lambda }{{hD}}\)
Avec des valeurs numériques courantes, ce rapport est de l'ordre de 71 ; on voit bien ici l'intérêt de cette ailette de refroidissement.