Influence de la viscosité sur la propagation d'un son
15 minutes de préparation)
Dans le cas d'un fluide visqueux, l'équation vérifiée par le champ des vitesses est l'équation de Navier-Stokes :
\(\rho \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \left( {\vec v.\overrightarrow {grad} } \right)\vec v} \right) = - \overrightarrow {grad} P + \eta \Delta \vec v\)
où \(\eta\) est la viscosité dynamique du fluide.
On suppose que les fluctuations de masse volumique et de pression sont petites et que l'évolution est isentropique.
Question
a) Établir l'équation de propagation :
\(\Delta p + \frac{\eta }{{\rho _0 c_s^2 }}\frac{{\partial (\Delta p)}}{{\partial t}} - \frac{1}{{c_s^2 }}\frac{{\partial ^2 p}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(avec\;:\;\rho _0 \chi _s c_s^2 = 1)\)
On utilisera que \(div(\Delta \vec v) = \Delta (div\vec v)\).
Question
b) On cherche une solution sous la forme d'une onde plane progressive monochromatique du type :
\(\underline p = p_0 e^{i(\omega t - \underline k x)}\)
Déterminer la relation entre \(\underline k\) et \(\omega\).
On pose \(\underline k = k_1-ik_2\). Pour un fluide faiblement visqueux, \(k_2<<k_1\).
Donner l’expression de \(k_2\) au premier ordre en \(\eta\). Quelle est sa signification physique ?