Agitateur magnétique
(10 minutes de préparation)
On modélise grossièrement le champ des vitesses dans un bêcher rempli d'eau et muni de son agitateur magnétique de la façon suivante :
- le vecteur tourbillon est avec \(\vec \omega=\omega \vec u_z\) avec \(\omega\) constant pour \(r<a\) (au-dessus de l'agitateur)
- le vecteur tourbillon est nul pour \(r>a\).
Question
Déterminer le champ des vitesses compatible avec la symétrie cylindrique du problème.
Solution
Le théorème de Stokes permet d'écrire :
\(\oint_{(C)} {\vec v.d\vec \ell } =\)
On obtient :
\(\vec v(r \le a) = \omega r\vec u_\theta \;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\vec v(r \ge a) = \frac{{\omega a^2 }}{r}\vec u_\theta\)
Question
Déterminer l'équation \(z(r)\) de la surface de séparation entre l'eau et l'air.
Solution
On détermine l'expression de la pression en fonction de z et de r ; pour connaître l'équation de la surface libre, il faudra écrire que cette pression vaut la pression atmosphérique P0.
Pour \(r<a\), l'écoulement est bien irrotationnel et le théorème de Bernoulli s'applique et donne directement :
\(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gz = cste = P + \frac{1}{2}\rho \frac{{\omega ^2 a^4 }}{{r^2 }} + \rho gz\)
Pour \(r>>a\), on note \(z=z_1\) la cote de la surface libre, alors, pour tout z sur la surface libre :
\(P_0 + \frac{1}{2}\rho \frac{{\omega ^2 a^4 }}{{r^2 }} + \rho gz = P_0 + \rho gz_1 \;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;z = z_1 - \frac{{\omega ^2 a^4 }}{{2gr^2 }}\)
Pour \(r<a\), l'écoulement n'est plus irrotationnel ; on peut revenir à l'équation d'Euler :
\(\rho \left( {\overrightarrow {grad} \frac{{v^2 }}{2} + \overrightarrow {rot} \vec v \wedge \vec v} \right) = - \overrightarrow {grad} P + \rho \vec g\)
Soit ici :
\(\rho (\omega ^2 r - 2\omega ^2 r) = - \frac{{\partial P}}{{\partial r}}\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\; - \frac{{\partial P}}{{\partial z}} = \rho g\)
On en déduit par intégration :
\(P(r,z) = \rho \frac{{\omega ^2 r^2 }}{2} - \rho gz + C\)
En se plaçant à la surface :
\(z = z_0 + \frac{{\omega ^2 r^2 }}{{2g}}\)
où z0 est la cote pour r = 0. On écrit la continuité de la cote z en r = a :
\(z_1 = z_0 + \frac{{\omega ^2 a^2 }}{g}\)
La dernière inconnue est obtenue en écrivant la conservation du volume :
\(\int_0^R {z(r)2\pi rdr} = \pi R^2 h\)