Oscillations dans un tube en U
(15 minutes de préparation)
On étudie les oscillations d'un fluide incompressible dans un tube en U de faible section.
On suppose que les surfaces libres restent dans les parties rectilignes et verticales du tube.
On souhaite déterminer la période des oscillations du liquide dans le tube.
Question
1ère méthode : en appliquant le théorème de Bernoulli en régime dépendant du temps.
Solution
La cote de la surface libre du fluide dans la branche droite du tube est notée z.
Le fluide étant incompressible, la vitesse en tout point M s'écrit :
\(\vec v(M,t) = \dot z \vec T\)
On intègre l'équation d'Euler sur une ligne de courant :
\(\mu \int_A^B {\frac{{\partial \vec v(M,t}}{{\partial t}}.d\vec \ell = - \left[ {\mu gz(M,t) + \frac{1}{2}\mu {v^2}(M,t) + P(M,t)} \right]} _A^B\)
Soit, en notant L la longueur de liquide :
\(L\ddot z = - 2gz\)
Soit :
\(\ddot z = - 2\frac{g}{L}z = - \omega _0^2z\;\;\;\;\;\;(\omega _0^2 = 2\frac{g}{L})\)
La période est donc :
\(T = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}} = 2\pi \sqrt {\frac{L}{{2g}}}\)
Question
2nde méthode : en effectuant un bilan énergétique.
Solution
L'énergie cinétique de tout le fluide est : (s est la section du tube en U)
\({E_c} = \frac{1}{2}\mu sL{\dot z^2}\)
L'énergie potentielle se décompose en trois parties : on suppose qu'à t = 0, la dénivellation était h (la partie gauche est abaissée de h par rapport à la position d'équilibre).
Alors : (le centre d'inertie est au milieu de la colonne de fluide considérée)
\({E_p} = \mu s(h - z)g\frac{1}{2}(h - z) + \mu s(h + z)g\frac{1}{2}(h + z) + cste = \frac{1}{2}\mu sg{(h - z)^2} + \frac{1}{2}\mu sg{(h + z)^2} + cste\)
En dérivant l'énergie mécanique :
\(\mu L\ddot z - \mu g(h - z) + \mu g(h + z) = 0\)
Soit :
\(\ddot z = - 2\frac{g}{L}z = - \omega _0^2z\)
On retrouve la même équation.
Question
Newton interprète la houle en considérant que la partie haute de l'ondulation se vide dans la partie basse.
En prenant \(L=\lambda /2\), déterminer la période puis la vitesse de phase \(v_{\varphi}\) de la houle.