Ondes dans une corde : équation de d'Alembert
Fondamental : Vibrations transversales d'une corde ; équation d'onde de d'Alembert
On considère une corde inextensible, de masse linéique \(\mu\), tendue horizontalement avec une force constante \(F\).
A l'équilibre, la corde est horizontale.
On supposera dans la suite que la pesanteur n'intervient pas (sinon, la forme de la corde serait une chaînette).
On se propose d'étudier les petits mouvements au voisinage de cet équilibre, avec le modèle suivant :
L'élément de corde situé au point de coordonnées \((x,0)\) à l'équilibre se trouve au point de coordonnées \((x,y(x,t))\) hors équilibre ; autrement dit, on néglige son déplacement le long de (Ox).
L'angle \(\alpha (x,t)\) que fait la tangente à la corde au point d'abscisse \(x\) à l'instant \(t\) est un infiniment petit (\(cos \alpha \approx 1\), \(sin \alpha \approx \alpha\) et \(tan \alpha \approx \alpha\).
Si on considère une coupure fictive au point d'abscisse \(x\), l'action exercée par la partie gauche de la corde sur la partie droite se réduit à une force tangente à la corde notée \(\vec T_g(x,t)\).
De même, l'action exercée par la partie droite sur la partie gauche se réduit à une force \(\vec T_d(x,t)\).
D'après le principe des actions réciproques, \(\vec T_d(x,t)=-\vec T_g(x,t)\).
Le théorème du CI appliqué à un élément de corde situé entre les abscisses \(x\) et \(x+dx\) donne :
\(\mu \;dx\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }}\;\vec u_y = \vec T_g (x,t) + \vec T_d (x + dx,t) = - \vec T_d (x,t) + \vec T_d (x + dx,t)\)
En projection, et en notant \(T = \left\| {\vec T_d } \right\|\) :
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = - T(x,t)\cos \alpha (x,t) + T(x + dx,t)\cos \alpha (x + dx,t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1) \\\mu \;dx\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }} = - T(x,t)\sin \alpha (x,t) + T(x + dx,t)\sin \alpha (x + dx,t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2) \\\end{array} \right.\)
Si on se limite à l'ordre 1, l'équation (1) donne :
\(T(x + dx) = T(x) = cste = F\)
L'équation (2) se réécrit :
\(\mu \;dx\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }} = - F\alpha (x,t) + F\alpha (x + dx,t) = F\;\frac{{\partial \alpha }}{{\partial x}}\;dx\)
Or :
\(\tan \alpha = \frac{{\partial y}}{{\partial x}} \approx \alpha\)
D'où :
\(\mu \;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }} = F\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial x^2 }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial x^2 }} - \frac{1}{{c^2 }}\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(avec\;c = \sqrt {\frac{F}{\mu }} )\)
On retrouve là encore l'équation d'ondes de d'Alembert.
Dans le cas de la corde, l'onde est dite transversale (le déplacement a lieu selon Oy).
Attention : Équation d'onde de d'Alembert
\(\mu \;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }} = F\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial x^2 }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial x^2 }} - \frac{1}{{c^2 }}\frac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(avec\;c = \sqrt {\frac{F}{\mu }} )\)
On retrouve une équation d'ondes de d'Alembert.
La vitesse de propagation de l'onde est :
\(c = \sqrt { \frac {F}{\mu}}\)
La vitesse est d'autant plus grande que la corde est tendue et que la corde est légère.