Raccordement d'écoulements visqueux
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Deux fluides non miscibles s'écoulent avec un champ de vitesse
entre deux parois fixes confondues avec les plans
et
: le fluide (1), de masse volumique
et de viscosité
s'écoule entre les plans
et
; le fluide (2), de masse volumique
et de viscosité
s'écoule entre les plans
et
(voir figure ci-dessous).
Les deux fluides sont en contact dans le plan
.
Question
1) Que dire du rapport
?
L'énergie potentielle des deux fluides doit être minimale : le fluide le plus dense est en bas et donc
.
Question
2) Justifier que
ne dépend pas de
. En déduire la valeur de l'accélération des particules fluides.
L'écoulement étant incompressible,
. Par conséquent,
.
La vitesse ne dépend pas de
.
L'accélération convective est nulle ainsi que
(régime stationnaire).
Question
3) Montrer que :
Où
est une fonction inconnue de la seule variable
.
L'équation de Navier - Stokes donne, pour les deux fluides :
En projetant sur (Oz) :
En intégrant pour le fluide (1) puis (2) :
La pression est continue à 'interface en
. Par conséquent,
.
Ainsi :
Question
4) On donne :
Montrer que
est une constante et déterminer la forme générale du champ des vitesses dans chacun des fluides.
En projetant l'équation de Navier – Stockes sur (Ox) :
(En effet, le terme de gauche ne dépend que de x et celui de droite ne dépend que de z).
Par intégration :
On en déduit ensuite :
Question
5) Quelles sont les conditions aux limites permettant d'achever la détermination du champ des vitesses ?
On ne demande pas de mener les calculs.
Parmi les profils de vitesse proposés sur les figures ci-après, quel est le seul profil susceptible de convenir ?
Les vitesses doivent être nulles en
et
et continues en z = 0.
Cette dernière condition donne
.
La 4ème relation est obtenue en étudiant les forces qui s'appliquent sur un élément de surface dS entre les deux fluides. Le fluide (1) exerce la force :
De même :
La condition
donne
.
On voit donc que
est discontinue en
.
Le profil (a) n'est donc pas le bon !
La dérivée
ne change pas de signe en
. Le profil satisfaisant est donc le (b).
