Écoulement de Poiseuille d'un fluide visqueux ("Classe inversée", PC*)

Viscosimètre à écoulement

Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.

Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Un liquide visqueux, incompressible, s'écoule lentement d'un récipient cylindrique de diamètre D dans un tube capillaire horizontal de diamètre d et de longueur L.

On négligera les effets dus aux extrémités du tube.

Étude d'un viscosimètre

Question

Peut-on considérer l'écoulement comme quasi-permanent ? Justifier. En déduire l'expression du débit volumique DV en fonction de h.

Solution

On se place dans l'ARQS. On a un écoulement de Poiseuille cylindrique (voir rappels de cours) :

Le liquide est pratiquement au repos dans le récipient de diamètre D. On peut donc écrire la relation de la statique des fluides :

et

Par conséquent :

Avec .

Question

A partir de l'équation de continuité, établir une équation différentielle satisfaite par h(t). La résoudre pour la condition initiale h(0) = h0.

Solution

L'écoulement étant incompressible, il y a conservation du débit volumique :

Soit :

On aboutit ainsi à l'équation différentielle :

Dont la solution est :

Avec :

Question

Il a fallu une durée t0 = 75 min pour que le niveau du liquide passe de la hauteur h0 = 5 cm à la hauteur h1 = 2,5 cm. Déterminer la viscosité cinématique du liquide.

On donne : D = 5 cm, L = 40 cm, d = 1 mm et g = 9,8 m.s-2

Solution

L'AN donne :

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