Réflexion et transmission dans une corde
Consacrer 15 minutes de préparation à cet exercice.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Au point d'abscisse x= 0 d'une corde très longue, de masse linéique \(\mu\), est attachée une masse m (par exemple, une perle enfilée sur la corde).
Une onde incidente :
\(\underline y _i (x,t) = ae^{i(\omega t - kx)}\)
arrive du côté x < 0.
La corde est tendue avec une tension \(T_0\).
Question
Déterminer l'expression du coefficient de réflexion complexe \(\underline r\) (en négligeant le poids de la masse).
Que se passe-t-il si \(m \to \infty\) ?
Solution
On note les ondes réfléchie et transmise de la forme :
\({\underline y _r}(x,t) = \underline r {a^{i(\omega t + kx)}}\)
Et :
\({\underline y _t}(x,t) = \underline t {a^{i(\omega t - kx)}}\)
La continuité du déplacement de la masse donne :
\(1 + \underline r = \underline t\)
Le PFD appliqué à la masse m donne, en projection selon la verticale :
\(m\frac{d}{{dt}}\left( {\underline t a{e^{i\omega t}}} \right) = {T_0}\alpha ({0^ + },t) - {T_0}\alpha ({0^ - },t) = {T_0}\left( {{{\left( {\frac{{\partial {{\underline y }_t}}}{{\partial x}}} \right)}_{{0^ + }}} - {{\left( {\frac{{\partial ({{\underline y }_i} + {{\underline y }_r})}}{{\partial x}}} \right)}_{{0^ - }}}} \right)\)
Soit :
\(m\underline t (i\omega ) = {T_0}\left( { - ik\underline t - ( - ik + ik\underline r } \right)\)
Ou :
\(m\underline t \omega = - {T_0}k\left( {\underline t + \underline r - 1} \right)\)
Par ailleurs :
\(k=\frac {\omega}{c}=\omega \sqrt{\frac {\mu}{T_0}}\)
La résolution du système conduit à :
\(\underline r = - \frac{1}{{1 - \frac{{2i\sqrt {\mu T} }}{{m\omega }}}}\)
Pour une masse très grande (\(m>>\sqrt{\mu T}/\omega\), le coefficient de réflexion tend vers \(-1\).
Il y a alors réflexion totale en opposition de phase, sans onde transmise (le coefficient de transmission tend vers zéro).
L'inertie de la masse, que la tension \(\vec T\) ne peut mettre en mouvement, bloque le passage de la perturbation avec création d'une onde stationnaire pour \(x<0\).