Vibrations transversales d'une corde, équation de d'Alembert ("Classe inversée", PC*)

Il n'a que 24 ans lorsqu'il entre à l'Académie des Sciences, et participera 10 ans plus tard avec Denis Diderot à la publication de « L'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers ».

Ses travaux ont couvert de nombreux domaines tels que les mathématiques, la mécanique, l'hydrodynamique, l'optique, l'astronomie ainsi que la théorie de la musique et la philosophie.

Il s'est notamment intéressé, à la frontière entre les mathématiques et la physique, aux équations différentielles et aux dérivées partielles.

L'équation d'onde qui porte son nom est une équation aux dérivées partielles, établie en 1746 lors de l'étude des cordes vibrantes. Elle relie les variations temporelles du déplacement transversal d'une corde vibrante à ses variations dans l'espace par l'intermédiaire de la vitesse de propagation de l'onde, encore appelée célérité de l'onde.

La force verticale est donnée par :

\(T_y=T_0\alpha (x,t)=T_0 \frac{\partial y(x,t)}{\partial x}\)

L'équation de d'Alembert est :

\(\frac {\partial ^2 y(x,t)}{\partial ^2 x}-\frac{1}{c^2}\frac {\partial ^2 y(x,t)}{\partial ^2 t}=0\)

Avec :

\(c=\sqrt {\frac {T_0}{\mu}}\)

qui représente la vitesse de propagation des ondes dans la corde.

La vitesse de propagation des ondes dans la corde est :

\(c=\sqrt {\frac {T_0}{\mu}}\)

On constate bien que \(c\) est d'autant plus petite que le milieu est "mou" (soit \(T_0\) "faible") et plus inerte (\(\mu\) "grande").

Que la corde soit pincée, frottée ou tapée, on constate que la vitesse de propagation reste la même.

Elle augmente avec la « raideur » du milieu (donnée par la tension \(F\) de la corde) et diminue avec l'inertie (représentée ici par la masse volumique \(\mu\))

Le guitariste met en vibration les cordes d'une guitare : il génère ainsi de nombreuses ondes progressives.

Seules certaines d'entre elles seront constructives après réflexions multiples.

On obtient finalement un système d'ondes stationnaires et on a des conditions aux limites de résonance de la corde.

L'onde obtenue se propage sur place : les nœuds et les ventres ne se déplacent pas le long de la corde.

On obtient finalement un système d'ondes stationnaires et on a des conditions aux limites de résonance de la corde.

L'amplitude de l'onde reste constamment nulle en certains points appelés nœuds de vibration et distants de \(\lambda /2\), où \(\lambda\) est la longueur d'onde de vibration.

Elle est maximale en un ventre de vibration.

Deux ventres de vibration successifs sont également distants de \(\lambda /2\).

Le chevalet et le sillet de la guitare, distants de L, sont situés à des nœuds de vibration.

Par conséquent, en notant n un entier naturel quelconque :

\(L=n\frac{\lambda_n}{2}\)

Où \(\lambda_n\) est la longueur d'onde associée au mode propre stationnaire de la corde, ainsi quantifié par l'entier n.

La fréquence est :

\(\nu_n=\frac{c}{\lambda_n}=n\frac{c}{2L}\)

L'équation de d'Alembert étant linéaire, la vibration globale de la corde \(y(x,t)\) pourra s'écrire comme la somme des contributions des différents modes :

\(y(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {y_{0,n} \sin \left( {n\frac{\pi }{L}\;x - \psi _n } \right)\cos \left( {n\frac{{\pi c}}{L}t - \varphi _n } \right)}\)

On obtient le spectre acoustique du son en traçant l'amplitude du fondamental et de chaque harmonique en fonction de la fréquence.

• Le nombre d'harmoniques dans un son complexe, ainsi que leurs amplitudes, dépendent de la nature de l'instrument de musique et lui confèrent sa propre caractéristique sonore que l'on appelle le timbre de l'instrument.

• En résumé, l'amplitude de l'onde donne une intensité sonore forte ou faible, sa fréquence correspond à la hauteur du son : aigu ou grave, et le contenu spectral correspond à son timbre : chaud, sourd, strident, dur...

• Par exemple, une guitare et un piano jouant la même note avec la même amplitude sonore produiront des sons dont le timbre est tout à fait différent.