Corde de guitare

Consacrer 15 minutes de préparation à cet exercice.

Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Une corde de guitare de longueur \(L\) et de masse linéique \(\mu\) est tendue (tension \(T_0\)) entre deux points O et A.

A l'instant t = 0, la corde est abandonnée dans la position de la figure (corde pincée) sans vitesse initiale.

Le profil de la corde à l'instant \(t=0\) est donné par :

\(y(x,0) = f(x)\)

Avec :

\(f(x) = h\frac{x}{a}\;\;pour\;\;x \in \left[ {0,a} \right]\;\;et\;\;f(x) = h\frac{{L - x}}{{L - a}}\;\;pour\;\;x \in \left[ {0,L} \right]\)

Question

a) Donner l'équation \(y(x,t)\) représentant la forme de la corde à un instant \(t\).

Rappel : la fonction 2L-périodique impaire se confondant avec \(f(x)\) sur l'intervalle [0,L] est développable en séries de Fourier selon :

\(f(x) = \sum\limits_1^\infty {B_n \;\sin \left( {n\;2\pi \;\frac{x}{{2L}}} \right)\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;B_n = \frac{{2hL^2 }}{{\pi ^2 a(L - a)}}\;\frac{{\sin \left( {n\pi \frac{a}{L}} \right)}}{{n^2 }}}\)

Question

b) Déterminer la force \(F_y\) exercée par la corde sur l'extrémité A (chevalet).

Que se passe-t-il si « l'attaque » s'effectue en \(a=L/p\) (p entier) ?

Animations JAVA de JJ.Rousseau (Université du Mans)

  • Corde pincée :