Pompe à chaleur
(20 minutes de préparation)
On dispose de deux bassins d'eau de masses m1 et m1/5.
On désire transformer le 1er en piscine chauffée et le 2nd en patinoire à l'aide d'une pompe à chaleur fonctionnant de manière réversible.
La capacité thermique massique cm de l'eau est donnée.
Question
Initialement, \(T_{1,0}=T_{2,0}=5°C\). T2 baisse de 5°C.
Déterminer la température finale T1 ainsi que le travail W à fournir.
(Indication : envisager une faible variation des températures sur un cycle élémentaire).
Solution
Sur un cycle élémentaire :
\(\delta {Q_1} + \delta {Q_2} + \delta W = 0\;et\;\frac{{\delta {Q_1}}}{{{T_1}}} + \frac{{\delta {Q_2}}}{{{T_2}}} = 0\)
Or :
\(\delta {Q_1} = - {m_1}{c_m}d{T_1}\;et\;\delta {Q_2} = - \frac{{{m_1}}}{5}{c_m}d{T_2}\)
Donc :
\(\frac{{d{T_1}}}{{{T_1}}} + \frac{1}{5}\frac{{d{T_2}}}{{{T_2}}} = 0\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;{T_1}T_2^{1/5} = cste = T_{ext}^{6/5}\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;{T_1} = {\left( {\frac{{{T_{ext}}}}{{{T_2}}}} \right)^{6/5}}{T_2} = 284\;K\)
Le travail à fournir est :
\(W = - {Q_1} - {Q_2} = {m_1}{c_m}({T_1} - {T_{ext}}) + \frac{{{m_1}}}{5}{c_m}({T_2} - {T_{ext}})\)
Question
Dans une 2nde étape, l'eau du second bassin passe à l'état de glace.
La chaleur latente massique de l'eau est Lf .
Déterminer les nouvelles valeurs finales de T1' et W'.
Solution
On a alors :
\({m_1}{c_m}\ln \left( {\frac{{T{'_1}}}{{{T_1}}}} \right) - \frac{{{m_1}}}{5}{L_f}\frac{1}{{{T_f}}} = 0\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;T{'_1} = {T_1}{e^{\frac{{{L_f}}}{{5{c_m}{T_f}}}}}\)
Le travail est :
\(W' = - {Q_1} - {Q_2} = {m_1}{c_m}(T{'_1} - {T_1}) - \frac{{{m_1}}}{5}{L_f}\)
Question
Dans une troisième étape, la température de la glace est abaissée de 5°C .
Déterminer les nouvelles valeurs finales de T''1 et W''.
Solution
Raisonnement identique à celui de la question (1).